Современные качественные исследования устойчивости

3827
знаков
0
таблиц
1
изображение

И.А. Колесникова

Российский университет дружбы народов

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости

1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.
Современные качественные исследования устойчивости

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

 существует производная Гато Современные качественные исследования устойчивости оператора N, определяемая формулой

Современные качественные исследования устойчивости (1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

Современные качественные исследования устойчивости  (2)

где Современные качественные исследования устойчивости-ограниченная область вСовременные качественные исследования устойчивости, с кусочногладкой границей Современные качественные исследования устойчивостиСовременные качественные исследования устойчивости

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.

 Зададим область определения оператора N равенством

Современные качественные исследования устойчивости (3)

Здесь Современные качественные исследования устойчивости- заданные функции, Современные качественные исследования устойчивости - неизвестная функция. Числа Современные качественные исследования устойчивости зависят соответственно от Современные качественные исследования устойчивости. Если Современные качественные исследования устойчивости- четны, то Современные качественные исследования устойчивостиПри нечетном Современные качественные исследования устойчивости полагаем Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости

Обозначим

Современные качественные исследования устойчивости

Введем классическую билинейную форму вида Современные качественные исследования устойчивостигде Современные качественные исследования устойчивости  (4)

Современные качественные исследования устойчивости

Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN: D(FN )=D(N)—>R такой, что

Современные качественные исследования устойчивостиСовременные качественные исследования устойчивости

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через Современные качественные исследования устойчивости замыкание области Современные качественные исследования устойчивости, будем предполагать, что Современные качественные исследования устойчивости- выпуклое множество, Современные качественные исследования устойчивости, для любых фиксированных элементов Современные качественные исследования устойчивостифункция Современные качественные исследования устойчивости

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности

Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости

Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Современные качественные исследования устойчивости
Современные качественные исследования устойчивости

Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

Современные качественные исследования устойчивости

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

Современные качественные исследования устойчивости
с граничными условиями

Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

Современные качественные исследования устойчивости

Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

Современные качественные исследования устойчивости
Таким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид

Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости

В. Рассматривается уравнение

где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями

Современные качественные исследования устойчивости

Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что

Современные качественные исследования устойчивости
Используя условия (6), находим вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда получим, что оператор вида

Современные качественные исследования устойчивости

является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:

Современные качественные исследования устойчивости

 Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом

Список литературы

 [1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1


Информация о работе «Современные качественные исследования устойчивости»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 3827
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
75089
0
0

... качественного исследования. При этом я сосредоточусь сперва на феноменологическом методе Альфреда Шюца, так как этот метод помогает увидеть особенности качественного социального исследования наших дней. 2. Феноменологическая социология Феноменологическая социология берет свое начало от немецкого философа Эдмунда Гуссерля . Ее сегодняшнее основание заложено Альфредом Шюцем. Я сказал «заложено», ...

Скачать
39208
0
0

...   В процессе работы автор нашел ответы на все поставленные вопросы. Настало время подвести итоги. Деятельность Римского клуба сыграла огромную роль в развитии глобалистики в целом и в формировании современных взглядов на устойчивое развитие. в частности. Само создание Римского клуба, как и других подобных организаций, было обусловлено появлением и обострением глобальных проблем. Однако Римский ...

Скачать
3978
0
1

... предполагается, что в каждой точке  существует производная Гато  оператора N, определяемая формулой (1) Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида  (2) где -ограниченная область в, с кусочногладкой границей в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.  Зададим ...

Скачать
49761
0
0

... . Алгоритм управления показывает, как должно изменяться управление u, чтобы обеспечить заданный алгоритм функционирования. Алгоритм функционирования в автоматической системе реализуется с помощью управляющих устройств. В основе используемых в техники алгоритмов управления лежат некоторые общие фундаментальные принципы управления, определяющие, как осуществляется увязка алгоритма управления с ...

0 комментариев


Наверх