Производная и дифференциал
Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции
Неопределенный интеграл
Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную
Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
Навигация
Пределы последовательностей и функций
Пределы последовательностей и функций
18636
знаков
4
таблицы
6
изображений
Контрольная работа по высшей математике
1. Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью 
называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: 
.
В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер 
, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.
при 
.
Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность 
сходящуюся к точке : 
. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность 
, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределом функции 
в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
.
Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при 
, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности 
будет меньше e, когда абсолютная величина разности 
будет меньше 
, но больше нуля
, если 
при 
.
Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке 
».
Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при 
, если для любого числа 
существует такое число d, что при всех 
справедливо неравенство : 
.
Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции 
Решение: Имеем неопределенность вида 
. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель 
, который при 
не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Похожие работы
... знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны. Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz). Теорема: Пусть варианта , ...
... такому произведению будет соответствовать свертка. Другими словами, выходной процесс системы, на которую действуют управляющее и возмущающее воздействия со своими передаточными функциями и , в действительной области можно представить в виде , . 5 Графические представления частотных характеристик Как уже отмечалось, частотные представления являются основой классических методов теории ...
... предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда Пример 3. Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда Непрерывность функции нескольких переменных По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой ...
... производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. > s:=x^3*cos(x)+y^2*ln(sin(x)); > diff(s,x); > diff(s,x$2); > diff(s,x,y); > fs:=Diff(s,x); > q:=sqrt(fs); > value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда int( ) имеет отложенную форму ...
0 комментариев