Div 3 = 1

5 div 3 = 1

5 mod 3 = 2

1.5.2. Числа с плавающей запятой

В форме с плавающей запятой число представляется двумя компонентами : мантиссой и порядком. Мантисса используется для записи цифр числа, а порядок - для указания положения запятой.

Разрядная сетка машины в этом случае делится на несколько частей:

один разряд - для кодирования знака числа (это всегда самый старший, левый, разряд слова);

M разрядов - для записи мантиссы;

Р разрядов - для записи порядка (с учетом его знака).

Местоположение запятой при этом тоже строго фиксируется: считается, что мантисса всегда представляется как число, меньшее единицы, но такое, в котором первая цифра после запятой для всех абсолютно чисел отлична от нуля (единственное исключение составляет число 0). Такая форма представления мантиссы называется нормализованной. Иначе говорят, что мантисса нормализована (приведена к виду: 1 < M <= 0,1).

Ну, а если известно, что мантисса имеет вид “0,цццц..”, то ее код в машинном слове может не содержать символов “0,”, а местоположение запятой предполагается перед старшей значащей цифрой мантиссы.

Порядок Р всегда представляется целым числом со знаком + или -. А для кодирования абсолютной величины порядка остается (Р-1) цифр.

Теперь можно рассмотреть диапазон представимых чисел.

Вначале рассмотрим пример применительно к двоичной системе счисления.

Пусть m - количество разрядов мантиссы,

р - количество разрядов порядка, включая знаковый.

Тогда максимальное по абсолютной величине число будет равно

0,1111..1 * 2**(+111..1) = (1-2**(-м))*2**(2**(р-1)-1),

m цифр (p-1) цифр

или приблизительно 2**(2**(р-1)-1),

а минимальное по абсолютной величине число

0,1000..0 * 2**(-111..1) = 2**(-2**(р-1)).

m цифр (p-1) цифр

Итак, число в форме с плавающей запятой представляется последовательностью битов без каких либо явно указанных разделителей, но функционально разбитой на три группы {(знак числа, мантисса числа, порядок числа) или (знак числа, порядок числа, мантисса числа)}.

Рассмотренная форма кодирования числа приводит к следующим последствиям:

·   Диапазон чисел, представимых в форме с плавающей запятой, определяется главным образом разрядностью порядка (Р).

·   Разрядность мантиссы (М) определяет точное количество значащих цифр в изображении числа.

Следовательно, большинство чисел в форме с плавающей запятой представляется приближенно и причиной этого является ограниченное число разрядов мантиссы. Величина же абсолютной погрешности при приближенном представлении числа зависит как от абсолютной величины числа, так и от разрядности мантиссы и порядка.

Рассмотрим примеры. При этом для простоты положим, что числа представляются в десятичной системе счисления, количество цифр мантиссы равно 4, количество цифр порядка - 2, знак порядка записывается как в математике, а знак числа мы не изображаем, полагая все числа положительными.

Пример 1. Пусть имеется число 12,42=0,1242*10**(+2).

В заданном формате оно представляется цепочкой символов

1 2 4 2 + 0 2

При этом

·   цепочка “1 2 4 2” представляет мантиссу, т.е. в математическом смысле число 0,1242 ,

·   а цепочка “+ 0 2” - порядок - целое положительное число 2.

Тогда ближайшее большее этого число может быть задано цепочкой

1 2 4 3 + 0 2

и оно равно 0,1243*10**(+2)= 12,43.

Таким образом, ближайшие числа на числовой оси, которые различимы при кодировании их в форме с плавающей запятой для данного примера различаются на 0,01 (абсолютная погрешность представления всех чисел между 12,42 и 12,43 имеет верхнюю оценку 0,01).

Пример 2. Пусть имеется число 0,001242=0,1242*10**(-2).

В заданном формате оно представляется цепочкой символов

1 2 4 2 - 0 2,

а ближайшее большее этого число представляется цепочкой

1 2 4 3 - 0 2

и равно 0,1243*10**(-2)= 0,001243.

Таким образом, абсолютная погрешность представления всех чисел между 0,001242 и 0,001243 имеет верхнюю оценку 0,000001.

Пример 3. Пусть имеется число 0,1242*10**(+12).

В естественной форме записи это число 124 200 000 000, а в заданном формате оно представляется цепочкой символов

1 2 4 2 + 1 2,

а ближайшее большее этого число представляется цепочкой

1 2 4 3 + 1 2

и равно 0,1243*10**(+12)= 124 300 000 000.

Таким образом, абсолютная погрешность представления всех чисел между 124 200 000 000 и 124 300 000 000 имеет верхнюю оценку 100 000 000 = 10**8.

Обратите внимание, что в последнем примере невозможно записать ни одного числа в интервале размером 10**8.

Важный вывод, который следует из анализа формы кодирования чисел с плавающей запятой и иллюстрируется в рассмотренных примерах: числа в форме с плавающей запятой, несмотря на то что, эта форма предложена для представления в ЭВМ непрерывных величин, представляются дискретным множеством на числовой оси и располагаются на ней неравномерно.

Если изобразить на (бесконечной) числовой оси области существования чисел, то можно выделить следующие области (см. рис.):

 1 2 3 4 5 6

R

МаксВещ -МинВещ 0 +МинВещ +МаксВещ

·   область 1: Х<-МаксВещ - ни одного значения из области нельзя представить в машинном слове (МаксВещ - максимальное по абсолютной величине число, которое можно закодировать);

·   область 2: -МаксВещ<=X<=-МинВещ - в данном интервале может быть представлено столько различных чисел, сколько их можно записать по заданной разрядности мантиссы и порядка;

·   область 3: -МинВещ<X<0 - ни одного значения из этой области представить в машинном слове нельзя;

·   область 4: 0<X<+МинВещ - ни одного значения из этой области представить в машинном слове нельзя;

·   область 5: +МинВещ>=X>=+МаксВещ - в данном интервале может быть представлено столько различных чисел, сколько их можно записать по заданной разрядности мантиссы и порядка;

·   область 6: X>+МаксВещ - ни одного значения из области нельзя представить в машинном слове (МаксВещ - максимальное по абсолютной величине число, которое можно закодировать).

Особое место занимает величина 0. Она также кодируется в форме с плавающей запятой, причем как ее порядок, так и мантисса(!) полагаются равными нулю.

Особенности арифметических операций над числами

При выполнении арифметических операций все четыре действия арифметики корректны. Следует однако иметь в виду, что дискретный характер представления чисел в форме с плавающей запятой и разбиение числовой оси на области, в ряде из которых невозможно представить ни одного числа, приводит:

·   Во-первых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в области 2 или 5, но который нельзя закодировать в форме с плавающей запятой точно. В этом случае, результат заменяется ближайшим из множества допустимых значений с учетом правила округления (ошибка метода представления чисел, вызванная ограниченной разрядностью мантиссы).

·    Во-вторых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 1 или в область 6. Этот случай является критическим, поскольку результат представить нельзя принципиально. Рассматриваемая ситуация называется “Переполнение с плавающей запятой” (Overflow), а при ее возникновении происходит аппаратное прерывание работы ЭВМ и выполнение программы аварийно прекращается. Причиной этого является ограниченная разрядность порядка.

·   В-третьих, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 3 или в область 4. Рассматриваемая ситуация называется “Потеря значимости”, а при ее возникновении результат заменяется ближайшим допустимым, как правило нулем. Выполнение программы после этого продолжается. В некоторых ЭВМ при этой ситуации вырабатывается предупредительное (информационное) сообщение. Причиной этой ситуации также является ограниченная разрядность порядка.

В заключении отметим, что при выполнении арифметических операций мантиссы чисел и их порядки обрабатываются по разным алгоритмам. При этом в операциях сложения и вычитания чисел порядки выравниваются за счет сдвига мантиссы меньшего операнда на число разрядов, равное разнице порядков операндов, а в операциях умножения и деления порядки чисел соответственно складывают или вычитают. Поскольку, как мы уже видели раньше, вычитание алгебраических чисел (т.е. с учетом их знаков) в прямом коде реализовать не просто, а порядки представляются как числа целые со знаком в прямом коде, в ряде ЭВМ при представлении числа с плавающей запятой порядок числа заменяется его характеристикой.

Характеристика числа получается из его порядка, если осуществить преобразование координат: Значение 0 на оси, изображающей характеристику, совпадает с значением -МаксПорядок:

Порядок:

МаксПорядок 0 +МаксПорядок

 

Характеристика:

0 МаксХаракт.

При этом характеристика числа рассматривается только как положительное число, а следовательно, в нем не надо и кодировать знак. Признаком же того, какой знак имеет порядок некоторого числа, является содержимое старшего разряда характеристики: Если он равен 0 - порядок отрицательный, в противном случае - порядок положительный. В случае записи характеристики цепочкой цифр 1000..0 принимается, что порядок равен нулю.

Рассмотрим еще одну ситуацию, типичную для операции над числами в форме с плавающей запятой.

Пусть необходимо вычислить разницу чисел

X=13,45 и Y=13,45*10**(-5) ,

при условии, что они представлены в форме с плавающей запятой при разрядности мантиссы, равной 4, и порядка, равной 2. Для простоты операцию проиллюстрируем на примере десятичной системы счисления.

Запишем числа Х и Y в форме с плавающей запятой:

X: 1 3 4 5 + 0 2

Y: 1 3 4 5 - 0 3

Как видно из этой записи, оба числа представлены в форме с плавающей запятой без искажения. Не воспроизводя логику вычитания, принятую в ЭВМ, выполним вычитание в столбик. Для этого представим оба операнда в естественной форме и так, чтобы соответствующие разряды операндов находились друг под другом :

X: 1 3 , 4 5

Y: 0 , 0 0 1 3 4 5

=============

X-Y: 1 3 , 4 4 8 6 5 5

Округлим результат, учитывая, что в нашем распоряжении для записи цифр числа имеется всего 4 разряда, и запишем его вновь в форме с плавающей запятой, в заданной разрядной сетке:

X-Y: 1 3 4 5 + 0 0

Сравнив результат с исходными операндами увидим, что хотя оба операнда были отличны от нуля, результат и уменьшаемое полностью совпадают!

Вывод. При вычитании двух чисел большое значение имеют соотношение их величин и разрядность мантисс, используемая для их кодирования. Так что программисты могут столкнуться с нежелательными последствиями выполнения указанных действий в некоторых критических местах алгоритма. Например, если подобное вычитание выполняется в условии прекращения цикла, имеющем вид “(X-Y)>0.01”, то данное условие может никогда не выполниться, т.е. произойдет так называемое зацикливание.

Дополнительная литература по материалу раздела.

1. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. Учебник для втузов. М.: 1989.