Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

1780
знаков
18
таблиц
0
изображений

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0,

(2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,

(3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,

(4)

X1X2X3X4 = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,

(6)

(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,

(8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),

(9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2 – X3X4 = Р/А1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,

(15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,

(17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/


Информация о работе «Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 1780
Количество таблиц: 18
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
35539
6
3

... вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn–1, …, xj1. 3. Метод Зейделя 3.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b   с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx + c. Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, ...

Скачать
41874
0
11

... свойства параболы: парабола расположена в правой полуплоскости , проходит через начало координат О(0, 0) и имеет ось Ох своей осью симметрии. II. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, ...

Скачать
69553
1
0

... точек координатной оси. Занятие № 4. Тема: Аналитический метод. Метод «ветвлений». Цель занятия: познакомить учеников с основным методом решения уравнений, содержащих параметр. Литература для учителя: см. [1] , [5], [6], [7], [14] Литература для ученика: см. [3] Краткое содержание: рассмотрение различных значений, принимаемых параметром. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению ...

Скачать
89437
1
28

... сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1.  Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике; 2.  Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений; 3.  Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения ...

0 комментариев


Наверх