Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

8234
знака
0
таблиц
0
изображений

Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа

1. Введение

Одной из классических моделей динамики популяций является логистическая модель или модель Ферхюльста-Пирла, которая описывается дифференциальным уравнением

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

с начальным условием Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где параметры Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейхарактеризуют интенсивности рождения и гибели особей популяции. Решение уравнения (1), как известно, имеет вид

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

а график x(t) представляет собой так называемую логистическую кривую. Модель (1) и ее различные модификации подробно изучены в ряде работ, см.,например, [1, с. 14], [2, с. 11].

В настоящей работе рассматривается один из вариантов модели (1), в котором учитывается ограниченность времени жизни особей популяции. Будем предполагать, что особи популяции, родившиеся в момент времени t, в течение некоторого периода Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особеймогут производить новых особей популяции (с интенсивностью Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей), либо могут погибать (с интенсивностью Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей). Особи, дожившие до момента времени Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, погибают, не оставляя потомства. Параметр Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейозначает предельное время жизни особей популяции. Начальное распределение особей по возрасту будем задавать неотрицательной, непрерывной функцией Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. При сделанных предположениях численность x(t) популяции описывается интегро-дифференциальным уравнением [3]

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

с начальным условием

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Ниже исследуются свойства решений уравнения (2) с начальным условием (3).

2. Основные результаты

В уравнении (2) при Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпод Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпонимается правосторонняя производная. Сделаем замену Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Тогда x(t) удовлетворяет соотношению

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

в котором y(t) является решением следующего линейного дифференциального уравнения с запаздыванием:

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

При Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпод Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпонимается правосторонняя производная. Уравнение (5) может быть проинтегрировано по отрезкам вида Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей,n = 0,1,2,...,. Отсюда следует, что уравнение (5) имеет единственное решение y(t), определенное на Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Нетрудно заметить, что y(t) является неотрицательной функцией, причем, если x(0)>0, то y(t)>0, если же x(0)=0, то y(t)=0 при всех Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Применяя к уравнению (4) принцип сжимающих отображений [4, с. 11], получаем, что уравнение (2) с начальным условием (3) имеет единственное неотрицательное решение x(t), определенное на Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Из (4) следует, что x(t)>0, если x(0)>0 и x(t)=0, если x(0)=0, Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Исследуем далее зависимость свойств решений x(t) от параметров модели (ниже везде принято, что x(0)>0).

Примем, что параметры таковы: Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей- единственный положительный корень уравнения Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Тогда функция Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейявляется решением уравнения (5). Из неравенства Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейследует, что Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпри Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Пусть теперь Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей- единственный положительный корень уравнения Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Функция Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейявляется решением уравнения (5). Подставляя y2(t) в (4) и дифференцируя обе части, получаем, что x(t) удовлетворяет уравнению

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (1). Имеем, что x(t) - монотонная функция и Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпри Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, причем x* - единственный положительный корень уравнения Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Если Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то уравнение (5) имеет решение Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Тогда x(t) удовлетворяет уравнению Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, откуда следует, что Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпри Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Заметим, что во всех этих случаях решение x(t) модели (2) может быть записано в явном виде.

Для дальнейшего исследования используем результаты работы [5], в которой изучены асимптотические свойства решений дифференциального уравнения Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Применяя эти результаты к уравнению (5), будем иметь: 1) если Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпри Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, 2) если Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то при Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейфункция y(t) эквивалентна экcпоненте Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей- некоторые константы. Указанные свойства y(t) не зависят от вида функции Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Отсюда непосредственно вытекает, что для Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи y*=0 существует Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Для остальных случаев используем следующее соотношение.

Зафиксируем h>0. Из уравнения (4) имеем, что при всех Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейверно

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Примем, что Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи y*>0. Соотношение (7) может быть записано в виде Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Учитывая положительность x(t), из последнего равенства получаем, что при достаточно больших t для любого h>0 верно неравенство x(t+h)/x(t) < 1 и, следовательно, существует Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей.

Пусть теперь Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Тогда из (7) получим, что Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Последнее равенство можем переписать в виде

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

Из (8) видно, что поведение x(t) на некотором конечном полуинтервале [0,T), T>0 может носить как монотонный, так и колебательный характер. Действительно, пусть Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейдостаточно мало, Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Если Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпри всех Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то имеем, что Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи x(t) - возрастающая ( убывающая ) функция, Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Если учитывать влияние слагаемого Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то, очевидно, возможны случаи, когда x(t) пересекает уровень x = x* при некоторых Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Покажем далее, что существует Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Пусть t достаточно велико и x(t) < x*. Может оказаться, что при всех h>0 верно Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Тогда x(t+h)/x(t) > 1 и, следовательно, указанный предел существует. Предположим теперь противное. Обозначим через t+h1 момент первого пересечения функцией x(t) уровня x = x*, иначе, Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где h2 - некоторое число. Из (8) получаем, что x(t+h2)/x(t+h1) =

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

откуда приходим к противоречию: x(t+h2) < x(t+h1)=x*. Аналогично рассматривается случай x(t) > x*. Следовательно, если при достаточно больших t верно Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то при всех Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Отсюда вытекает существование Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, который, очевидно, равен x*. Если же при некотором достаточно большом t окажется, что x(t) = x*, то либо при всех Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, либо найдется такой t1 > t, что x(t1) < x* или x(t1) > x*, что сводится к ранее рассмотренным случаям.

3. Заключение

Установленные выше результаты показывают, что модель (2) является естественным обобщением модели (1) в предположении, что особи популяции имеют ограниченное время жизни Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Для детального сравнения этих моделей выделим в модели (1) слагаемое, отвечающее за гибель особей вследствие процессов старения. Параметр Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейзаменим на Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, где под Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпонимается среднее время жизни особей, а Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейпо-прежнему означает интенсивность рождения особей популяции. Тогда вместо (1) будем рассматривать уравнение

Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей

с начальным условием x(0) = x0. Обозначим через x2(t) и x9(t) решения моделей (2) и (9) соответственно.

При Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейрешения обеих моделей стремятся к нулю при Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, иначе говоря, рассматриваемая популяция вырождается. Если Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейи начальное распределение особей по возрасту в модели (2) имеет вид Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, то эта модель переходит в модель (6), которая отличается от модели (9) только коэффициентом при x(t). Решения x6(t) модели (6) и x9(t) носят монотонный характер и образуют логистическую кривую. Можно показать, что Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей. Кроме того, при Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, причем x* > x*. Если по-прежнему Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей, но начальное распределение особей по возрасту в модели (2) произвольно, то с ростом t решение x2(t) приближается к x* либо монотонно, либо с затухающими колебаниями. Решение x9(t) таких колебаний не имеет. Заметим, что при достаточно больших t численность популяции будет поддерживаться на уровне x* в модели (2) и на уровне x* в модели (9). Следовательно, в модели (2) обеспечивается более высокий предельный уровень численности популяции, чем в модели (9).

Таким образом, при определенных соотношениях на параметры модели (2) ее решения качественно совпадают с решениями классической модели (9). Вместе с тем имеются и существенные различия в решениях этих моделей, обусловленные учетом ограниченности времени жизни особей популяции.

В завершение отметим, что соотношение (7) может быть использовано для численного решения уравнения (4). Как говорилось выше, уравнение (5) может быть решено аналитически либо его можно проинтегрировать численно. Поэтому в (7) y(t), y(t+h) можно считать известными. Аппроксимируя интеграл Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особейс помощью одной из стандартных формул (например, по формуле трапеций), получим (неявное) рекуррентное соотношение для нахождения численного решения xn(t) уравнения (4), которое является численным решением рассматриваемой модели (2). Проведенный вычислительный эксперимент показал в частности, что форма затухающих колебаний в модели (2) определяется, в основном, видом функции Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей.

Список литературы

Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р. А. Полуэктова. М.: Наука, 1974.

Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Под ред. А.К. Гуца: Сб. науч. тр. Омск, 1994. С. 119 - 129.

Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 1


Информация о работе «Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 8234
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
8216
0
0

... популяции обязательно вырождаются, причем независимо от начального распределения особей по возрасту. В завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая описывается дифференциальным уравнением с начальным условием , где , см., например, [5, c. 14]. Если учитывать ограниченность времени жизни ...

Скачать
32931
0
0

... природу. "Благоговение перед жизнью" (Швейцер), как возможная этическая основа взаимодействия человека с биосферой. “Нелинейное” и “ноосферное” мышление, идеология биоцентризма как новая научная парадигма и путь к “устойчивому развитию человечества. Переход от антропоцентризма к биоцентризму. 2. Парниковый эффект Парниковый эффект – подъем температуры на поверхности планеты в результате ...

Скачать
87664
4
5

... будет описываться гомеостатическим плато (рис. 6) – областью отрицательных связей, а при нарушении системы начинают преобладать обратные положительные связи, что может привести к гибели системы.  Применительно к лесному фитоценозу гомеостаз характеризуется относительно постоянным числом эдификаторов и упрочением связей между всеми ярусами и видами, входящими в биогеоценоз, вселение «чужаков» в ...

Скачать
100800
1
2

... что при такой ориентации теста знания у сильных и слабых испытуемых измерялись с меньшей точностью. 3) Автоматизированный контроль знаний с применением компьютера и обработка результатов тестирования на ЭВМ для определения параметров качества тестирования. 2.1.9.4 Блок адаптивного обучения 1) Модели обучения. Информационные технологии оказывают решающее влияние на все этапы процесса обучения: ...

0 комментариев


Наверх