Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

7101
знак
0
таблиц
0
изображений

С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаалгебры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанавыполнено равенство

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- группа Вейля алгебры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаозначает выпуклую оболочку множества A.

Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаэрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанасодержится в выпуклой оболочке множества Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Sn - симметрическая группа, действующая на Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаперестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.

Таким образом, проекция орбиты Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- это выпуклый многогранник с вершинами в точках Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.

2. Предварительные сведения

Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанадействует на Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанас помощью коприсоединенного представления Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана: Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Определим орбиту элемента Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

На каждой орбите Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанасуществует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, т.е. такая, что для любой непрерывной функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаи для любого Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаортогональная проекция. Определим проекцию меры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанана Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- это мера Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, задаваемая соотношением:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- финитная непрерывная функция на Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Мера Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаабсолютно непрерывна и Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- плотность проекции меры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Нахождению плотности Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаи посвящена эта статья.

Введем некоторые обозначения: Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- система корней алгебры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- множество положительных корней, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- их полусумма. Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- решетка весов алгебры Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, кроме того, пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаобозначает множество Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- камера Вейля. Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанапредставляет собой множество всех старших весов Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Если Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

где

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

или

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картананеприводимое представление Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Обозначим множество весов Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанакак Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Если Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, то Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаобозначает кратность веса Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанав представлении Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Известно, что

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- дельта-функция в точке Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Найдя функцию Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, мы получим выражение для функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

или

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Точное выражение для функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанав дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.

3. Функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

В этом разделе мы определим функцию Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, через которую выражается функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, а также укажем некоторые ее свойства.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, мы рассмотрим систему положительных корней Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанакак проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.

Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- векторное пространство, порожденное Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, т.е. линейная оболочка множества Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанавложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанатаких, что (ei,ej)=0, если Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаи, кроме того, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Пространство V - линейная оболочка векторов Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

V+ - это конус в пространстве V, порожденный векторами Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Определим на Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанафункцию Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаследующим образом:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

где mes - мера Лебега на Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана.

Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана0-мерно. В этом случае можно считать, что функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаимеет следующий вид:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаопределена всюду в Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанас точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанафункция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картаналишь умножается на константу.

Можно рассматривать функцию Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанакак непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- решетка корней алгебры; Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- это число способов представить Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанав виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- решетка в V. Тогда Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаравно числу элементов в множестве Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, а Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана- это мера или объем Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Для примера функция Костанта Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаи функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанадля алгебры Ли A2 связаны следующим образом: Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанатакова:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

4. Основной результат

Теорема. Пусть Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, имеет плотность Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Кроме того, функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаявляется непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанафункцией, носитель которой содержится в множестве Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана.

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Сечение Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаорбиты Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, проходящее через точку Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, имеет размерность r, поэтому Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Таким образом, мы получаем:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Для вычисления Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаиспользуется формула Костанта для кратностей весов. Если Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, то

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, интегрируются по Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанаи, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Так как это верно для любой непрерывной функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, то получаем (*) для всех Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру КартанаПосле этого, используя однородность функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, (*), доказывается для всех Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, где Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, а затем, используя предельный переход, и для всех Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана.

Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Далее, если Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана, то

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана

Затем равенство Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картанадоказывается для всех Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Из равенства (*) легко получить, что Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана. Так как функция Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру КартанаПроекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана-инвариантна, то Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана.

Список литературы

Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.

Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.

Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.

Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.

Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/


Информация о работе «Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 7101
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

0 комментариев


Наверх