Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

6540
знаков
0
таблиц
1
изображение

Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет, кафедра математическогомоделирования,

644077 Омск, пр. Мира,55-A

Изучение упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки". Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.

Рассмотрим в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, заданный семейством Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеподмножеств An, для которого выполнены условия: (1) Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве; (2) если Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, то Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве; (3) если Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, то Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Несвязность порядка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеозначает, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Предполагаем далее, что верно следующее: (i) Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве; (ii) Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстведля любой Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Замечание 1. Для любого множества A, будем через Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, int A, и Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеобозначать соответственно замыкание, внутренность и границу множества A.

Назовем внешним конусом множества Px следующее множество:

Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

где lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Считаем далее, что Cx - конус "с острой вершиной", то есть не содержит прямой. Известным является факт [1], что семейство Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствевнешних конусов задает порядок в An.

Гомеоморфизм Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, для которого f(Px)=Pf(x) для любой точки Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, назовем порядковым Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизмом. Множество всех порядковых Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизмов будет группой, которую обычно обозначают Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Подгруппа группы Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, сохраняющая фиксированную точку Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, обозначается Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Порядок Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространственазывается Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- однородным или гранично однородным, если для любых Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространственайдется Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветакой, что f(x)=y.

Имеет место следующая

Теорема. Пусть Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, n>2, инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:

(1) существует семейство Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстверавных и параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной такое, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстведля любых Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве;

(2) порядок Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- гранично однородный.

Тогда любой порядковый Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизм будет аффинным преобразованием.

Доказательство .

Для любой точки Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстверассмотрим следующее множество

Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

где объединение берется по всем Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизмам f из стабилизатора Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветаких, что f(v) = uo .

Нетрудно видеть, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, так как тождественное преобразование id, очевидно, принадлежит Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи для него имеем: id(u0) = u0, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи поэтому Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. В частности, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, так как для любого Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеf(e) = e.

По условию (1) Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи, кроме того, если Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, то

Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

то есть семейство Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствесохраняется Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизмами из Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Замечание 2. Не следует думать, что в определении множества Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, f(v) = x точка v- фиксированная. Точка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, то есть v- точка из орбиты точки x, для которой определяется множество Dx.

Рассмотрим далее множества

Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

Легко видеть, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве(здесь C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v). В самом деле, для любой точки Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве,Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве имеем Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве(семейство Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствезадает порядок в An). Поэтому для Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, f(v) = u0 имеем Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Если же Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствето Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Это противоречит тому, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Значит Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстведля любой точки Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Отметим теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x- содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, где Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствепо компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространственепустое пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствепо компактному множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространственекомпактное пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Все остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, а Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи также Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, что противоречит выбору Tx.

Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветакие, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи множество Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- компактно. Если теперь точка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, то Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Поскольку Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи порядок Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- гранично однородный, то для любой точки Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствебудет верно следующее:

Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве

Действительно, вследствие граничной однородности порядка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстведля любых точек Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространственайдется Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветакой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, поэтому Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеи, следовательно, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Покажем теперь, что наш порядок Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствебудет максимально линейчатым, то есть для любой точки Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеимеем Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Предположим, что это не так и найдется точка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветакая, что луч Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствене лежит полностью в Qe, то есть Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Если Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветочка, которая вместе с некоторым шаром Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствес центром в точке v0 положительного радиуса Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствележит в Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Точка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, значит найдется Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстветакое, что шар Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеимеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеуже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, так как Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве.

Пусть точка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве. Тогда по доказанному выше Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве(см. (Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве)), но, поскольку Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, множество Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствесодержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве). Значит порядок Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве- максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизм Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствебудет аффинным преобразованием.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве, n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствевнешних конусов порядка Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствеявляется семейством равных и параллельных эллиптических конусов.

Тогда любой порядковый Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве-автоморфизм Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространствебудет преобразованием Лоренца.

Список литературы

Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.

Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.

Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203


Информация о работе «Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 6540
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 1

0 комментариев


Наверх