Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

15922
знака
4
таблицы
3
изображения

Л.О. Бабешко, доцент кафедры "Математическое моделирование экономических процессов"

Аннотация

Данная работа посвящена вопросу прогнозирования характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка при помощи модели средней квадратической коллокации (* Термин "коллокация" (англ. collocation - взаиморасположение; расстановка) после пуб-ликации работы советского математика и экономиста Л.В. Канторовича "Об одном мето-де приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных" (1934) широко используется в современной вычислительной математике для прибли-женного решения дифференциальных уравнений. Под коллокацией, с математической точки зрения, понимается определение функции путем подбора аналитической аппрок-симации к определенному числу заданных линейных функционалов. "Математическая" ("чистая") коллокация нашла широкое применение в технических приложениях при ре-шении интерполяционных задач. Дальнейшее обобщение теории коллокации связано с применением к объектам стохастической природы и вслед за работами Г. Морица (на-пример: Moritz H. Least-Squares Collocation // Reviews of Geophysics and Space Physics. V. 16. No. 3. Aug. 1978. P. 421-430) под коллокацией понимается обобщение метода наименьших квадратов на случай бесконечномерных гильбертовых пространств.). Коллокационная модель прогнозирования сохраняет основные преимущества классических регрессионных моделей - инвариантность по отношению к линейным преобразованиям исходных данных и результатов, оптимальность решения (в смысле наиболее точного прогноза из всех возможных вариантов линейных решений на основе заданных исходных данных) - и имеет дополнительные достоинства: результат не зависит от числа оцениваемых величин; как наблюдаемые, так и оцениваемые величины могут быть разнородными (иметь различную физическую, экономическую или математическую природу). Коллокационная модель может быть использована не только для построения оптимального прогноза однородных данных, но и для оценивания любых интересующих характеристик финансовых инструментов фондового рынка по неоднородной исходной информации (доходностей, курсов, объемов продаж, индексов и т.д.).

Потребность в прогнозировании как специфическом научно-прикладном анализе (нацеленном на будущее или учитывающем неопределенность, связанную с отсутствием или неполнотой информации) возникает со стороны самых разнообразных областей человеческой деятельности – политики, международных отношений, экономики, финансов и т.д.

Предвидение вероятного исхода событий дает возможность заблаговременно подготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если это возможно – вмешаться в ход развития, что особенно важно в финансовой сфере, подверженной различного рода рискам.

В общем виде задачу прогнозирования можно сформулировать следующим образом: по имеющейся информации X (измерениям, наблюдениям) требуется предсказать (спрогнозировать, оценить) некоторую величину Y, стохастически связанную с X. Например, по имеющейся информации о динамике цен на ту или иную ценную бумагу оценить ее значение на какой-то период в будущем или оценить доходность одних ценных бумаг, используя информацию о доходности других ценных бумаг, и т.д.

Искомое значение Y можно оценить различными способами, но в любом случае это приближенное значение будет базироваться лишь на исходной информации:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка.

Различные функции  определяют различные методики прогноза оценки Y. Ниже мы рассмотрим методику линейного стохастического прогнозирования.

Итак, пусть имеется два множества случайных величин: множество значений независимой переменной (измерений) Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, образующих n-мерный вектор-столбец, и множество значений зависимой переменной (сигналов) Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, образующих m-мерный вектор-столбец (значок ( ) – означает транспонирование).

Предполагается, что каждая из переменных является центрированной случайной величиной, т.е. имеет математическое ожидание равное нулю:

E{X} = 0, E{Y} = 0. (1)

Если это не так, то выполняется центрировка, то есть значения E{X} 0 и E{X} 0 вычитаются из заданных значений переменных X и Y соответственно.

Пусть имеется дополнительная информация в виде ковариационных функций:

1) автоковариационных функций векторов X и Y,

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка(2)

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка(3)

где Xj = X(tj) – значение переменной в момент tj, j=1, … , n,

Yk = Y(tk) – значение переменной в момент tk, k=1, … , m,

 – интервал времени между соответствующими моментами;

2) взаимных ковариационных функций между X и Y

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаКоллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка(4)

По данным ковариационным функциям для различных интервалов  можно составить соответствующие ковариационные матрицы:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (4)

Предполагается, что данные ковариационные матрицы имеют полный ранг, т.е. ранг равный наименьшему из чисел m и n.

Задача состоит в оценке вектора Y по измеренным значениям вектора X. Причем связь между векторами будет определяться не через функциональное соотношение, а только через ковариационные матрицы (4) .

Ограничиваясь методикой линейного прогноза, будем искать оценку вектора Y в виде

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (5)

или в координатной форме:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, i=1, …, m,

т.е. каждый элемент вектора Y аппроксимируется линейной комбинацией исходных данных X = (X1, X2, ..., Xn)'.

Ошибка аппроксимации (вектор ошибок) определяется как разность между истинным значением переменной и оценкой

 = Y – Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (6)

Ковариационная матрица и дисперсии ошибок определяются по формулам

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (7)

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка(8)

соответственно. Согласно общей теории статистического оценивания наилучшая (оптимальная) линейная оценка определяется как несмещенная линейная оценка с минимальной дисперсией. Несмещенность линейной оценки (5) проверяется непосредственно

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

с учетом (1) и свойств математического ожидания.

Для того чтобы дисперсия линейной оценки (5) была минимальной, матрица H должна определяться из следующих соображений.

Ковариационная матрица ошибок для произвольной матрицы H имеет вид:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка.

Вычитая из правой части квадратичную форму Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаи добавляя ее, а также домножая члены Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкана единичную матрицу E = Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, можно представить ковариационную матрицу ошибок в виде суммы двух матриц:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка=Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаКоллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка+Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка+Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка=

=Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

где A = Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, B = Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка.

Матрица А одинакова для всех линейных оценок, так как она не зависит от матрицы H. Заметим, что элементы матрицы В являются неотрицательными числами (поскольку ковариационная матрица Kxx является невырожденной, а как известно, все невырожденные ковариационные матрицы положительно определены), поэтому диагональные элементы матрицы K  , представляющие собой дисперсии ошибок, будут наименьшими только в том случае, когда матрица В является нулевой

B = Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка= 0. (9)

Отсюда следует, что дисперсии ошибок будут минимальными, если матрица Н определяется выражением

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (10)

Таким образом, выражение для оптимальной (несмещенной, с минимальной дисперсией) линейной оценки получается подстановкой в формулу (5) выражения (10):

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (11)

При этом ковариационная матрица ошибок прогнозирования переменной Y с учетом (9) принимает вид

K  = KYY – Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (12)

При практической реализации алгоритма прогнозирования (11) целесообразно сначала вычислить вектор C

C = Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (13)

поскольку сомножители в данном выражении не зависят от значений переменной Y, а затем выполнять умножение на матрицу взаимных ковариаций

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка.

Если выполняется прогноз одного значения переменной Y, например на момент t = p,Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, то вектор C умножается на вектор-строку ковариаций

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

где Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (14)

Данный метод может быть использован при прогнозировании значений переменных как по пространственным данным (пространственный срез) (cross-sectional data), например, по набору сведений о доходностях разных ценных бумаг (X и Y) за один и тот же период (момент) времени, так и по данным временных рядов (time-series data), например, доходности ценной бумаги данного вида (Y) за несколько лет.

Во втором случае, т.е. в случае, когда прогноз Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкапеременной Y в момент t = p выполняется по данным временного ряда Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, формула (11) принимает следующий вид

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (14')

гдеКоллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка – вектор-строка ковариаций, с элементами Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка(i=1, …, m); KYY – автоковариационная матрица вектора Y.

При этом формулу для дисперсии ошибки прогноза в момент t = p (с учетом выражения (12)) можно переписать следующим образом

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (15)

где Dy – дисперсия случайного процесса Y.

Поскольку ковариационная матрица положительно определена и, следовательно, квадратичная форма Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкав выражении (15) принимает неотрицательные значения, любой прогноз будет уменьшать исходную дисперсию Dy. В худшем случае, когда точка p, в которой выполняется прогноз, настолько удалена от ординат Yi, i=1, 2, …, m с заданными значениями, что вектор ковариаций Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаявляется нулевым вектором, дисперсия прогноза будет равна дисперсии исходного процесса Dy:

D (P) = Dy.

Если момент t = p, на который выполняется прогноз переменной Y, совпадает с моментом t = i, на который известно ее значение Yi, элементы вектора ковариаций Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкабудут совпадать с элементами i-й строки Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка' и элементами i-го столбца Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаматрицы автоковариаций KYY. Поэтому в соответствии с (14) значение прогноза будет в точности совпадать с заданным значением переменной

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (16)

и в соответствии с (15) ошибка дисперсии прогноза D (P) = 0, так как квадратичная формаКоллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка при p = i достигает своего максимального значения, равного дисперсии Dy.

Формулы (10) и (14) называются средним квадратическим прогнозом или коллокацией [1] и представляют собой аналог формулы прогноза Колмогорова–Винера, известной из теории стохастических процессов. И как показано выше, вся методика линейного прогноза сводится к простейшим матричным операциям.

Используя данные временных рядов по годовым доходностям долгосрочных облигаций корпораций США и доходностям рыночного портфеля (портфеля, включающего акции 500 фирм и выбранного корпорацией Standard & Poor's для характеристики рынка в среднем) за период исследования (с 1984 по 1993 г.) [2], выполним сравнительный анализ результатов прогнозирования, полученных при помощи парной регрессионной модели и модели коллокации (табл. 1).

Таблица 1

t Год

Долгосрочные облигации

корпораций Yt, %

Портфель обыкновенных

акций Xt, %

1 1984 16,39 6,27
2 1985 30,90 32,16
3 1986 19,85 18,47
4 1987 -0,27 5,23
5 1988 10,70 16,81
6 1989 16,23 31,49
7 1990 6,78 -3,17
8 1991 19,89 30,55
9 1992 9,39 7,67
10 1993 13,19 9,99

В качестве исходных данных будем использовать значения доходностей за девять лет (с 1984 по 1992 г. включительно), а последнее значение, соответствующее 1993 г., будем использовать для контроля качества прогноза, поэтому число данных n в обеих моделях будем принимать равным 9.

Регрессионная модель прогноза, с оцененными по методу наименьших квадратов параметрами, имеет вид:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (17)

Для определения точностных характеристик модели (оценка дисперсии параметров модели, дисперсии прогноза и т.д.) вычисляются остатки регрессии Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаи находится сумма их квадратов (табл. 2).

Таблица 2

t Yt

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

et

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

1 16,39 9,277 7,113 50,598
2 30,90 22,758 8,142 66,293
3 19,85 15,629 4,221 17,813
4 -0,27 8,735 -9,005 81,094
5 10,70 14,765 -4,065 16,525
6 16,23 22,409 -6,179 38,181
7 6,78 4,361 2,419 5,850
8 19,89 21,920 -2,030 4,119
9 9,39 10,006 -0,616 0,379
280,853

Оценка дисперсии ошибок регрессии и оценки дисперсии параметров модели для данных табл. 2 соответственно равны: Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка40,122; Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка0,0294; Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка12,128. Коэффициент детерминации R2, характеризующий качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям Yt , (t = 1, …, 9) и F – статистика, используемая для проверки его значимости (R2=0,506, F=9,237 > F (k1, k2) = F (1,7) = 5,59, где F – критическое значение критерия при пятипроцентном уровне значимости  = 5%, и уровней свободы k1 = 1 и k2 = n–2 = 7), свидетельствуют о том, что есть основания полагать, что между переменными имеется корреляционная зависимость.

При помощи регрессии (17) выполним прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций на 1993 г. Y93 по значению доходности рыночного портфеля на этот год X93=9,99:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

и, таким образом, отклонение от истинного значения составляет

Y93 –Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка= 13,19 – 11,21 = 1,98, (18)

а оценка дисперсии прогноза индивидуального значения Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка= 45,699.

Теперь выполним прогноз, используя модель коллокации (11). Для этого необходимо построить модели ковариационных функций: автоковариационной функции вектора X, взаимной ковариационной функции между X и Y, взаимной ковариационной функции между Y и X.

Первым шагом при построении ковариационных функций является вычисление оценок ковариаций по данному динамическому ряду:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

где Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка– выборочные средние.

Вторым шагом является выбор подходящей аппроксимирующей функции, и если нет каких-либо дополнительных соображений теоретического характера, то в качестве таковых обычно выбирают непрерывные функции вида:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, (19)

где  ,  , K(0) = DY – параметры модели. Поскольку члены последовательностей Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, ( = 0, ..., k) для данных табл. 1 меняют знак, то в данной работе воспользуемся выражением (19).

На третьем шаге выполняется оценка параметров модели ковариационной функции (например, по методу наименьших квадратов). В данной работе воспользуемся методом, основанным на использовании "существенных" параметров:

1) дисперсии процесса K(0) = DY ;

2) радиуса корреляции  0,5 – значение аргумента  ковариационной функции, при котором ее значение равно половине дисперсии, т.е.

K( 0,5) = Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

3) наименьшего положительного корня  0 уравнения: K( ) = 0. Связь параметров модели с существенными параметрами устанавливается следующим образом:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, где  = 3,14. (20)

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка. (21)

Значения существенных параметров и параметров моделей ковариационных функций представим в табл. 3.

Таблица 3

Ковариационная Существенные параметры Параметры модели
функция  0  0,5
KXX( ) 0,6193 0,3096 1,1193 2,5366
KYY( ) 1,0293 0,5054 0,7133 1,5261
KYX( ) 0,7417 0,3709 0,9345 2,1177
KXY( ) 0,6619 0,3310 1,0472 2,3731

По построенным ковариационным функциям, для различных интервалов  ( = 0, ..., 9) между моментами ti, tj, i = 1, ..., 9, j = 1, …, 9 рассчитаем соответствующие ковариационные матрицы:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

Обращая матрицу KXX и перемножая обратную матрицу Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкана вектор центрированных значений переменной X, а затем, умножая произведение C =Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаX на матрицу KYX, получим центрированные значения прогнозов переменной Y на моменты

t = 1, …, 9, соответствующие периоду исследования (с 1984 по 1992 г.). Добавляя к центрированным значениям прогнозов среднее по выборке Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаи вычисляя отклонения прогнозов от истинных значений переменной, найдем сумму квадратов отклонений (табл. 4).

Таблица 4

t Yt

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

et

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

1 16,39 9,232 7,158 51,232
2 30,90 23,498 7,402 54,786
3 19,85 15,769 4,081 16,652
4 -0,27 7,407 -7,677 58,935
5 10,70 16,226 -5,526 30,535
6 16,23 21,489 -5,259 27,653
7 6,78 4,933 1,847 3,411
8 19,89 21,459 -1,569 2,462
9 9,39 10,436 -1,046 1,093
246,760

Для прогнозирования доходности долгосрочных облигаций корпораций на 1993 г. Y93(t = 10) вектор значений ковариаций (14)

(-0,006 0,020 -0,036 -0,017 0,362 -1,346 2,578 0,370 -22,446),

вычисленный по моделям взаимных ковариационных функций Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка(см. табл. 3), умножается на вектор C =Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкаX, в результате получается значение

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка,

и, таким образом, отклонение от истинного значения составляет

Y93 –Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка= 13,19 – 14,903 = -1,71.

Продемонстрируем работу модели (14) для прогнозирования значений временного ряда – доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1992 г. и 1993 г. по данным за девять лет (с 1984 по 1992 г. включительно).

Элементы ковариационной матрицы KYY и вектора Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынкавычислим при помощи модели автоковариационной функции вида (19) с параметрами  = 0,7133,  = 1,5261 (см. табл. 3):

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

Умножая вектор Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

на вектор Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, получим прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1992 г. В данном случае результат прогноза в точности совпадает с заданным значением, и этот факт был отмечен выше (см. (16)):

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка.

Умножая вектор Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка:

Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка

на вектор Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, получим прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1993 г. –Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка, который отличается от истинного значения на величину  = 0,


Информация о работе «Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка»
Раздел: Экономика
Количество знаков с пробелами: 15922
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 3

0 комментариев


Наверх