Множество точечных источников

3.3. Множество точечных источников

Предположим, что волны на поверхности воды возбуждаются колебаниями длинного стержня. Стержень параллелен поверхности воды и совершает колебания в вертикальном направлении. На расстояниях меньше длины стержня в таких условиях будут наблюдаться плоские волны.

q

Стержень можно представить себе как совокупность тесно друг к другу, непрерывно расположенных точечных источников волны, заменить, например, большим количеством прижатых друг к другу шариков. Вид возникающей при этом волны не изменится, но появляется возможность провести важные рассуждения.

Множество точечных источников создает, естественно, множество круговых волн. Как мы видим, при тесном расположении источников получается плоская волна. Каким образом?

l/2

d

q

При распространении плоской волны происходит движение энергии в направлении нормали к фронту. Поэтому ответ на вопрос, почему волна плоская, заключается в ответе на вопрос, почему энергия не распространяется в каком-то ином направлении, составляющем угол q с нормалью к оси стержня. Ответом на этот вопрос мы сейчас и займемся.

Если у нас имеется множество непрерывно расположенных точечных источников (круговых) волн, мы всегда можем выбрать пару источников, расположенных на некотором нужном нам расстоянии друг от друга. Выберем пару источников на таком расстоянии d, чтобы выполнялось условие . Далее, на достаточно большом расстоянии от источников малый участок фронта круговой волны можно считать плоским, как это показано на рисунке. И расстояние между гребнями волн двух источников, относящихся к одному моменту времени излучения, будет равно l/2. Это означает, что в выделенной области вызванные двумя нашими точечными источниками колебания происходят в противофазе. Амплитуды колебаний примерно одинаковые и при их сложении мы получим нуль. В этом направлении энергия распространяться не будет.

Y

r₀

2

y+dy

y 1 q

Предположим теперь, что фазы колебаний точечных источников цилиндрических или кольцевых волн неодинаковы, изменяются вдоль стержня, являясь функцией координаты j(y). Запишем условие равенства фаз колебаний, приходящих с волной из точек 1 и 2 в удаленную зону наблюдения:

; ;

;

;

.

Стало быть, при изменяющейся вдоль оси OY фазе колебаний j(y) излучение будет распространяться в направлении под углом q, определяемым выписанным условием. Естественно, при неизменной фазе dj/dy = 0 и излучение направлено по нормали - в этом случае q = 0.

Лекция 3 18

Лекция 3

3.4. Периодически расположенные

точечные источники волн

Рассмотрим интересный и весьма важный для практики случай, когда точечные источники волн расположены в виде цепочки. Пусть расстояние между источниками d составляет несколько длин волн и разность фаз колебаний равна нулю.

d

Применим ту же технику рассуждений, что и для случая тесного (непрерывного) расположения точечных источников. Рассмотрим сначала нормальное к цепочке направление.

На достаточно большом удалении от источников узкий (несколько расстояний между источниками) участок фронта кольцевой волны можно считать плоским (прямолинейным). Колебания от отдельных источников, расстояния до которых примерно одинаковы, будут происходить в выделенной области наблюдения в фазе, усиливая друг друга. В этом направлении будет распространяться плоская волна.

q

Но есть направления, в которых распространения волны происходить не будет. Попробует догадаться, каким может быть такое направление.

Будем постепенно увеличивать угол q. При этом в достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдения станет нарастать разность фаз колебаний, вызванных разными источниками. Пусть при некотором значении угла q будет выполняться условие

; ,

где N - количество источников в цепочке. Если расстояние между источниками d порядка нескольких l и количество источников велико (например, более ста), значение угла q будет очень маленьким. На рисунке этот угол показан достаточно большим, правдоподобно маленьким изобразить его нам не удастся.

При этом условии колебания от первого источника волн и от источника с номером N/2 в области наблюдения будут происходить в противофазе, погасят друг друга. Колебания от второго источника будут погашены колебаниями от источника с номером N/2+1 и т.д. Следовательно, такая цепочка будет излучать волну в пределах чрезвычайно малого угла ±q. Мы получим практически плоскую волну.

Однако, при выбранной нами величине расстояния d порядка нескольких длин волн это не будет единственным направлением распространения волны и, соответственно, потока энергии. Действительно, если выполняется условие

,

где k - целое число, то колебания от отдельных источников в области наблюдения будут происходить с разностью фаз 2pk, т.е. будут складываться, усиливать друг друга. В этих направлениях, как и в направлении нормали к линии расположения источников (q = 0), будет распространяться примерно плоская волна. Эти направления называют направлениями на главные максимумы k-того порядка.

Большим значениям k соответствуют большие разности расстояний до области наблюдения. Естественно, эта разность (разность хода) не может стать больше чем d. Поэтому максимальное значение порядка максимума k определяется условием

.

Для получения узкого пучка радиоизлучения используется антенна с расположенными в ряд дипольными излучателями. Если создать некоторую разность фаз колебаний соседних осцилляторов, направления главного максимума нулевого порядка будет отличаться от нормали (этот эффект мы обсуждали для тесного, непрерывного расположения точечных источников). Таким способом может быть осуществлено изменение направления радиоизлучения (сканирование) без поворота антенны.