Определение нагрузок на цилиндрические конструкции в потоке

Цилиндрические конструкции подверженные ветровым нагрузкам колеблются в поперечном направлении (перпендикулярно направлению ветра) из-за образования вихрей на боковых к ветру сторонах. Результатом является образование вихревой дорожки называемой дорожкой Кармана. В определенном диапазоне скоростей ветра и диаметров поперечного сечения цилиндрических конструкций образование и сход вихрей происходят с постоянным периодом по времени, следовательно на конструкцию действует периодическая возбуждающая колебания сила. Когда частота схода вихрей приближается к одной из собственных частот конструкции возникают резонансные колебания. Из за изменения скорости ветра и возникновения порывов ветра появляются колебания по направлению ветра но основной интерес представляют именно поперечные к ветры колебания. Амплитуда резонансных колебаний будет возрастать до тех пор пока энергия, рассеиваемая в результате демпфирования не будет равна энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом конструкции обладающие слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.

Процесс образования вихрей на боковых по ветру поверхностях цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При очень малых числах Рейнольдса течение в непосредственной близости к поверхности цилиндра будет мало отличаться от идеального течения и образования вихрей не будет. При несколько больших значениях (до Re = 40) течение отрывается от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше Re = 40 симметрия вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода вихрей с противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является переходным, в нем течение меняется от ламинарного к турбулентному в области свободных вихрей сорвавшихся с поверхности цилиндрической конструкции. В этом диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности меняется не периодично из-за турбулентности течения. Апериодичность изменения скорости аргументируется турбулентностью природного ветра. Результатом таких флуктуаций является то, что амплитуды подъемной или боковой силы являются в некоторой степени случайными, эта случайность становится более выраженной с увеличением числа Рейнольдса.

Периодичность вихревого следа характерна для диапазона от Re = 40 до 3*10⁵. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на передней к ветру поверхности изменяется от ламинарного к турбулентному и точка отрыва вихрей смещается назад по потоку. В результате резко падает коэффициент лобового сопротивления и след становится более узким и, вероятно, апериодичным. Следовательно частота схода вихрей и амплитуда подъемной силы становятся случайными.

Частота, с которой вихри отделяются от поверхности цилиндрической конструкции, обычно характеризуется безразмерной величиной называемой числом Струхаля Sh:

где n – частота отделения вихрей, d – характерный размер, V – скорость ветра. Когда сход вихрей является периодичным, n – частота этого схода, если же сход является случайным необходимо говорить об энергетическом спектре, а не об одной частоте.

Спектральная плотность боковой силы (цилиндр). Нормализованная спектральная плотность подъемной силы

по аргументу ;

Если использовать Кармановскую спектральную плотность и потребовать выполнения условия =Ёормировки , то

n – частота на графиках в герцах.

 для больших чисел Re (по Фыну).

В связи с тем, что  задается по частоте в [Гц], в выражении  после определения передаточной функции нужно перейти к частоте в [Гц]; в формулу входит .

Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня. При выводе уравнений поперечного колебания мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось z и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом будем считать, что отклонение отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных – координаты z и времени t:

.

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.

Обозначим через m(z) массу единицы длины стержня (кг*сек²/см²), через EJ – жесткость на прогиб [ E (кг/см²) – модуль упругости, J (см⁴) – момент инерции поперечного сечения стержня относительно поперечной оси. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через .

Кинетическая энергия колеблющегося стержня есть кинетическая энергия поперечных смещений элементов стержня

.

Потенциальная энергия равна сумме двух слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил)

;

б) потенциальная энергия прогиба от поперечной нагрузки

.

Функционал S Остроградского – Гамильтона имеет здесь вид

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала S уравнение Эйлера:

.

Решение задачи о свободных колебаниях консольно защемленной балки

с граничными условиями

при z = 0:

консольное защемление

при :

отсутствие перерезывающих сил и моментов на свободном конце;

будет иметь вид:

- для первого тона.

(1)

примем  (Метод Бубнова-Галеркина)

Тогда: где - собственная частота I-ого тона.

Здесь нет демпфирования, введем искусственно конструкционное демпфирование (как логарифмический декремент, равен 0,005).

 - случайная функция

В выражении  величину

;

Интегрирование от 0 до 100

В величину  частота входит в герцах, поэтому

Веса единицы объема кожуха(сталь)  и футеровки

Средняя площадь футеровки  и кожуха тубы

Погонная масса трубы

Аппроксимация формы при , , тогда ;

Тогда

Независимость q от нормировки f(z) связана с тем, что линейное дифференциальное уравнение для q зависит от правой части, знаменатель зависит от второй степени, а числитель от первой степени f(z), т.е.

(чем больше f(l), тем меньше q при )

Тогда

Уравнение для q будет иметь вид: