2.    Исходя из принципа стандартного отклонения: Н(х)=b*(x), (b>0) – страховая надбавка прямо пропорциональна отклонению от среднего значения ущерба.

3.     По коэффициенту вариации: Н(х)=с*Var(x), (с>0), то есть страховая надбавка напрямую зависит от стандартного отклонения, и изменяется обратно пропорционально от его среднего значения.

(a,b,c) – числа, показывающие степень пропорциональности и уровень страховой надбавки.

Нетто-премию можно представить не только как математическое ожидание величины ущербов, но и как произведение среднего ущерба на значение вероятности его появления в различных временных периодах: Е1(Х)=, где t – временные периоды. Данная формула имеет смысл, если страховые события независимы, то есть наступление одного из них не влияет на появление другого. В принципе, эта формула также выражает принцип финансовой эквивалентности: нетто-премия равна произведению средней величины ущерба (так для себя ее оценивает страхователь) заранее известной вероятности его наступления (определенной на основании прошлого опыта).

Для определения страховой премии необходимо знать, что страховая премия уплачивается во время заключения договора страхования, а страховая сумма – спустя некоторое время (если произойдет страховой случай). Поэтому у страховщиков есть и запас времени, и возможность получить всю премию целиком, не заплатив ничего страхователю. Используя время, страховщик может инвестировать средства, получая от этого дополнительный доход. А если не произойдет страховой случай, то сумма страховых премий по данным договорам страхования остается у страховщика. В этих двух пунктах и заключаются основные доходы страховой компании.

Страховой бизнес обладает значительной долей авантюризма, в нем неотъемлемо присутствует элемент случайности. То есть, как страховщик, так и страхователь получают свои выгоды в зависимости от фортуны. Если рассмотреть формирование цены страховой услуги с точки зрения затрат, то их определение заключается в калькуляции ущерба, к которому приведет страховое событие. Его определяют как страховщик, так и страхователь, договариваясь о выплате определенной страховой суммы. Однако, в страховании нельзя определить придется ли нести эти затраты страховщику, как компании, оказывающей услуги. В данном случае сложно найти равновесную цену и определить взносы страхователя. Единственным путем в ее определении является анализ прошлых данных, при этом исследуемый период должен быть как можно дольше, а совокупность данных однороднее.

Величина выплат по договору страхования является случайной величиной, а, следовательно, сумма выплат по всем договорам, также величина случайная. Сумма выплат ограничена страховым фондом, который формируется из страховых премий. Поэтому совокупная страховая сумма варьируется в некотором интервале, верхняя граница которого равна сумме всех выплат по всем договорам. Для обеспечения 100%-ной гарантии того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, страховщик должен создать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае страховая премия будет равна страховой сумме. В результате страхователь, с учетом нагрузки, должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Такие условия страхователь не примет, а, следовательно, страховщику приходится рисковать так, что его риск определяется вероятностью всех страховых событий от которых он страхует. Для себя страховщик определяет размер своего риска, что математически можно выразить следующим неравенством:  или , где y – заданная страховщиком гарантия безопасности, Si – выплата, Pi - премия, b – верхняя граница страховой гарантии. Сущность данного неравенства такова: вероятность того, что сумма всех выплат превысит сумму всех взносов страхователей, должна быть определена страховщиком заранее. Это делается для определения нетто-премии.

Согласно теореме А.М.Ляпунова (если Х – случайная величина, равная сумме большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение близкое к нормальному) страховые события и страховые выплаты распределены по нормальному закону. Если известен закон распределения случайной величины, то приведенное выше неравенство легко решаемо. Во-первых, вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b (. Во-вторых, - функция нормального распределения, где a – матемпатическое ожидание случайной величины, а - ее среднее квадратическое отклонение. И в-третьих, , где Ф – функция Лапласа. Сумма нетто-премий является математическим ожиданием от суммы страховых выплат, а вероятность отклонения должна быть задана страховщиком заранее, то приведенное выше неравенство тождественно приведенному выше. Подставляя известные значения в данное уравнение можно найти суммарную величину нетто-премии.

Исходя из принципа финансовой эквивалентности, ожидаемую величину нетто-премии можно выразить как произведение страховой суммы и нетто-ставки, выражаемой в процентах (Е(X)=S(X)*T(X)/100). Где Т(Х) – нетто ставка, которая зависит как от вероятности наступления страхового случая, так и от тяжести страхового случая (величины ущерба). Страховую сумму определяет сам страхователь. Верхняя ее граница – максимальная стоимость страхуемого имущества.

Нетто-премия является частью брутто-премии (П(Х)), которую также можно выразить в процентах к общей величине выплат: П(Х) = S(X)*L(X)/100, где L(X) – брутто ставка в %. При этом, L(X) = Т(Х) *f , где f – доля нагрузки, выраженная в процентах. Доля нагрузки рассчитывается по данным бухгалтерского учета страховщика: , где R - расходы, за исключением комиссионных. - сумма собранных брутто-премий по данному виду страхования, K(%) – процент комиссионных, получаемых посредниками по данному виду страхования, V- доля прибыли в брутто-ставке, которую страховщик хочет получить по данному виду страхования. Исходя из приведенных выше формул, расчет брутто-ставки можно представить следующим выражением: П(Х)=Т(Х)/(1-f) или П(Х)=Т(Х)/100-f%.

Выше были описаны общие принципы формирования нетто-ставок, которые являются основой частных расчетов, зависящих от вида страхования. Каждый из видов имеет свои особенности, связанные с характером страхуемых событий и объектов. Некоторые из этих особенностей оказывают существенное влияние на расчет нетто-ставок.

Виды страхования сточки зрения особенностей расчета нетто-ставок можно разделить на 2 категории:

1.    Страхование жизни. Здесь формирование резерва взносов и расчеты тарифных ставок производятся с помощью актуарных методов, на основе таблиц смертности и норм доходности по инвестициям временно свободных резервов по страхованию жизни.

2.    Рисковые виды страхования. Это те виды страховой деятельности, отличающиеся от страхования жизни. Они не предусматривают обязательств страховщика по выплате страховой суммы при окончании срока действия договора страхования, и не связаны с накоплением страховой суммы в течении срока действия договора страхования. В рисковых видах страхования не используется принцип капитализации и, следовательно, при расчете нетто-ставок не используются методы финансовых исчислений (дисконтирование и компаундинг). Данные виды страховой деятельности можно условно разделить на два вида:

-      Массовые рисковые виды страхования. Они охватывают значительное число субъектов страхования и страховых рисков, характеризующихся однородность объектов страхования и незначительным разбросом в размерах страховых сумм. Наличие большого числа застрахованных объектов подразумевает, что по указанным рискам существует достаточный объем статистических данных, на основе которых можно описать всю совокупность рисков с помощью их числовых характеристик, таких как среднее значение и дисперсия. При этом, учитывая однородность застрахованных объектов, можно утверждать, что средние значения будут характеризовать всю совокупность с достаточной точностью.

-      Страхование редких событий и крупных рисков. В данном случае речь идет о рисках, связанных с низкой частотой наступления страхового события и высокой стоимостью ущерба. Число объектов, которое можно застраховать, ограничено, а разброс страховых сумм составляет значительную величину. Для страхования редких событий и крупных рисков существуют некоторые особенности расчета нетто-ставок, обусловленные спецификой страхуемых рисков и объектов. Во-первых, при расчете тарифов необходимо опираться на данные за несколько лет (чем больше срок тем точнее расчет). Определенная таким образом премия должна поддерживать финансовое равновесие страховщика в пределах не одного года, а достаточно продолжительного периода. Во-вторых, при расчетах нетто-премий необходимо использовать реальную стоимость риска, а не среднюю, в отличии от страхования массовых рисков, так как совокупность рисков неоднородна. В-третьих, страховщики вынуждены учитывать перестрахование на величину ущерба по всему портфелю рисков данного типа. В-четвертых, для взвешенного расчета тарифных ставок необходимо расширить базу данных за пределы статистической информации и использовать данные других страховых компаний.

Расчет тарифных ставок при страховании жизни.

Страхование жизни обуславливает ряд особенностей, которые влияют на выбор форм и методов анализа подготовки и проведения страховых операций. Можно выделить основные факторы, которые влияют на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни:

1.    Объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность среди населения страны централизовано собираются и обрабатываются в федеральных и региональных органах статистики. На основании подобных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете нетто-ставок по страхованию жизни.

2.    Договоры страхования жизни, обычно, заключаются на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом выплат достигает нескольких лет. В течении этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения применяются методы финансовых исчислений (дисконтирование).

В страховании жизни неопределенность связана со случайным характером продолжительности человеческой жизни. Поэтому страховщики должны располагать данными для расчета вероятностей дожития до определенного возраста лиц различного пола. Источником таких данных являются таблицы смертности, составляемые на основе переписи населения.

Таблица смертности.

Таблица смертности и коммутационных функций. (мужчины, i=9%

Аннуитет.

x

lx

qx

dx

Dx

Nx

Cx

Mx

N(12)x

N(12)x

ax

18 100000 0,00149 149 21199,37402 244591,9762 28,978961 1003,702 254308,36 234875,5965 11,53769805
19 99851 0,001732582 173 19419,98803 223392,6022 30,868544 974,7228 232293,43 214491,7744 11,50323069
20 99678 0,001956299 195 17785,63423 203972,6142 31,921122 943,8543 212124,36 195820,8652 11,46839137
21 99483 0,002161173 215 16285,1745 186186,98 32,289068 911,9332 193651,02 178722,9417 11,4329128
22 99268 0,002337108 232 14908,238 169901,8055 31,965281 879,6441 176734,75 163068,8631 11,39650477
23 99036 0,002494043 247 13645,31729 154993,5675 31,22202 847,6788 161247,67 148739,4637 11,35873679
24 98789 0,002631872 260 12487,41769 141348,2502 30,151637 816,4568 147071,65 135624,8504 11,3192538
25 98529 0,002770758 273 11426,19487 128860,8325 29,045155 786,3051 134097,84 123623,8265 11,27766802
26 98256 0,002931119 288 10453,70243 117434,6376 28,111048 757,26 122225,92 112643,3573 11,23378424
27 97968 0,003123469 306 9562,441641 106980,9352 27,401825 729,1489 111363,72 102598,1494 11,18761706
28 97662 0,003327804 325 8745,480415 97418,49355 26,700225 701,7471 101426,84 93410,14836 11,13929583
29 97337 0,003564934 347 7996,676302 88673,01314 26,153784 675,0469 92338,156 85007,86983 11,08873359
30 96990 0,003814826 370 7310,246493 80676,33683 25,584698 648,8931 84026,866 77325,80719 11,03606245
31 96620 0,004046781 391 6681,063461 73366,09034 24,804406 623,3084 76428,244 70303,93625 10,98119944
32 96229 0,004250278 409 6104,611614 66685,02688 23,803942 598,504 69482,974 63887,07989 10,92371327
33 95820 0,004445836 426 5576,757172 60580,41527 22,74619 574,7001 63136,429 58024,40156 10,86301831
34 95394 0,004654381 444 5093,544793 55003,65809 21,749814 551,9539 57338,199 52669,11673 10,7986992
35 94950 0,004865719 462 4651,227061 49910,1133 20,762902 530,2041 52041,926 47778,3009 10,73052608
36 94488 0,00514351 486 4246,417888 45258,88624 20,038068 509,4412 47205,161 43312,61137 10,65813291
37 94002 0,005499883 517 3875,758159 41012,46835 19,556162 489,4031 42788,858 39236,0792 10,58179243
38 93485 0,005947478 556 3536,185269 37136,71019 19,294848 469,8469 38757,462 35515,95861 10,50191304
39 92929 0,006488825 603 3224,91182 33600,52492 19,198062 450,5521 35078,61 32122,44034 10,4190523
40 92326 0,007083595 654 2939,436635 30375,6131 19,102549 431,354 31722,855 29028,37131 10,33382137
41 91672 0,00770137 706 2677,628309 27436,17647 18,918722 412,2515 28663,423 26208,93016 10,24644697
42 90966 0,008310797 756 2437,621011 24758,54816 18,585848 393,3327 25875,791 23641,3052 10,15684885
43 90210 0,008879282 801 2217,763703 22320,92715 18,066191 374,7469 23337,402 21304,45212 10,06461018
44 89409 0,009428581 843 2016,579408 20103,16345 17,443562 356,6807 21027,429 19178,89788 9,968942143
45 88566 0,009969966 883 1832,62929 18086,58404 16,762616 339,2371 18926,539 17246,62895 9,869199483
46 87683 0,010572175 927 1664,548659 16253,95475 16,144862 322,4745 17016,873 15491,03661 9,76478198
47 86756 0,011261469 977 1510,963999 14589,40609 15,61071 306,3297 15281,931 13896,88092 9,655694043
48 85779 0,012077548 1036 1370,594794 13078,44209 15,186628 290,719 13706,631 12450,25281 9,542165305
49 84743 0,013027625 1104 1242,239788 11707,8473 14,847187 275,5323 12277,207 11138,48739 9,42478852
50 83639 0,014084339 1178 1124,822344 10465,60751 14,534292 260,6851 10981,151 9950,063933 9,304231523
51 82461 0,015219316 1255 1017,412812 9340,785164 14,205804 246,1508 9807,0994 8874,470959 9,18091954
52 81206 0,016365786 1329 919,2004449 8323,372352 13,801319 231,945 8744,6726 7902,072148 9,055013407
53 79877 0,017539467 1401 829,5018416 7404,171907 13,347725 218,1437 7784,3603 7023,983563 8,926046377
54 78476 0,018719099 1469 747,6631389 6574,670066 12,839982 204,796 6917,349 6231,991127 8,793626064
55 77007 0,01997221 1538 673,0895034 5827,006927 12,333106 191,956 6135,5063 5518,507571 8,657105626
56 75469 0,021359764 1612 605,1802003 5153,917423 11,85918 179,6229 5431,2917 4876,543165 8,516335169
57 73857 0,022936215 1694 543,3520131 4548,737223 11,43343 167,7637 4797,7736 4299,700884 8,371621184
58 72163 0,024694095 1782 487,0546557 4005,38521 11,034288 156,3303 4228,6186 3782,151826 8,223687348
59 70381 0,026654921 1876 435,8048455 3518,330554 10,657196 145,296 3718,0744 3318,586667 8,073179063
60 68505 0,028713233 1967 389,1637631 3082,525709 10,251513 134,6388 3260,8924 2904,158984 7,920896037
61 66538 0,030794433 2049 346,7794619 2693,361946 9,7971349 124,3873 2852,3025 2534,421359 7,76678622
62 64489 0,032966863 2126 308,3491604 2346,582484 9,3259673 114,5902 2487,9092 2205,255785 7,610147148
63 62363 0,035229222 2197 273,5631707 2038,233323 8,8416677 105,2642 2163,6164 1912,850203 7,450686137
64 60166 0,03749626 2256 242,1337182 1764,670153 8,3294577 96,42253 1875,6481 1653,692198 7,287998406
65 57910 0,040269384 2332 213,8115682 1522,536434 7,8991377 88,09308 1620,5334 1424,539466 7,120926372
66 55578 0,043092591 2395 188,2582643 1308,724866 7,4426939 80,19394 1395,0099 1222,439828 6,951752535
67 53183 0,046161367 2455 165,2713101 1120,466602 6,9992199 72,75124 1196,216 1044,717251 6,779559024
68 50728 0,049459864 2509 144,6258353 955,1952918 6,5625451 65,75203 1021,4821 888,9084507 6,604596544
69 48219 0,053028889 2557 126,1217074 810,5694566 6,1358661 59,18948 868,37524 752,763674 6,426882994
70 45662 0,056896325 2598 109,5721224 684,4477491 5,7194964 53,05361 734,66831 634,227193 6,246550074
71 43064 0,061071893 2630 94,80538649 574,8756268 5,3118756 47,33412 618,3281 531,423158 6,063744351
72 40434 0,065563635 2651 81,66554318 480,0702403 4,9121925 42,02224 517,50028 442,6401997 5,878491976
73 37783 0,0704285 2661 70,01032418 398,4046971 4,5235982 37,11005 430,49276 366,3166318 5,690656368
74 35122 0,075650589 2657 59,70605696 328,3943729 4,1438517 32,58645 355,75965 301,0290968 5,500185235
75 32465 0,081256738 2638 50,63234731 268,688316 3,7745132 28,4426 291,89481 245,4818234 5,30665336
76 29827 0,087370503 2606 42,67718158 218,0559687 3,4208503 24,66809 237,61634 198,4955938 5,109427581
77 27221 0,093898093 2556 35,73252729 175,3787871 3,07818 21,24724 191,7562 159,0013787 4,908099156
78 24665 0,100952767 2490 29,70395515 139,6462598 2,7510977 18,16906 153,26057 126,031947 4,701268201
79 22175 0,10854566 2407 24,50023732 109,9423046 2,4398114 15,41796 121,17158 98,71302919 4,487397537
80 19768 0,116653177 2306 20,03747055 85,44206731 2,1444354 12,97815 94,625908 76,25822663 4,264114429
81 17462 0,125415187 2190 16,2385651 65,40459675 1,8684061 10,83371 72,847272 57,96192108 4,027732522
82 15272 0,134821896 2059 13,02936001 49,16603165 1,6115991 8,965305 55,137822 43,19424165 3,773480171
83 13213 0,144857337 1914 10,34194219 36,13667164 1,3744094 7,353706 40,876728 31,3966148 3,494186195
84 11299 0,155677494 1759 8,113610993 25,79472944 1,1588134 5,979297 29,513468 22,07599107 3,179192282
85 9540 0,167180294 1594,9 6,284866394 17,68111845 0,9639503 4,820483 20,561682 14,80055469 2,813284697
86 7945,1 0,239053001 1899,3 4,801982189 11,39625206 1,0531452 3,856533 13,597161 9,195343554 2,373239135
87 6045,8 0,341625591 2065,4 3,352343059 6,594269868 1,0506846 2,803388 8,1307604 5,0577793 1,967062962
88 3980,4 0,488066526 1942,7 2,024859522 3,241926809 0,9066662 1,752703 4,1699874 2,313866194 1,601062579
89 2037,7 0,695048339 1416,3 0,951003092 1,217067286 0,6064157 0,846037 1,6529437 0,78119087 1,279772166
90 621,4 0,981670422 610,01 0,266064195 0,266064195 0,2396214 0,239621 0,3880103 0,144118106 1
Формула

lx*(1+i)-x

dx*(1+i)-x+1

Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.

Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы определения нетто-премий в личном страховании.

В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами (Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств. Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной величины S, а, следовательно, является величиной случайной.

К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом, равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов (g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1-g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.

В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.

Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок:

1.    E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату.
Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.

2.    E+I>Sp – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (Sp).

3.    E>Sp-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии.

4.    Ep-IE>Sp-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением (математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат.

Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, qn – вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному): E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых премий.

Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году -Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/

Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии.

Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности – число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx (кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (qx)в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx). Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:

-      lx+1=lx-dx;

-      dx=lx*qx;

-      qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .

Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:

1.    npx=lx+n/lx– вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.

2.    px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx– вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.

3.    nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.

4.    mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.

5.    m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx– вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.

1.    Dx=lx*vx

2.    , где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

-      Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw

-      (Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1

3.    Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1

4.    ;

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты (nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

1.    Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты (S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии (S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:

-      nEx*S = S*npx*vn

-      nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn

-      nEx=(lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx

2.    Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.

-      (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn

-      Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vnили

Страхование жизни.

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:

1.     Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы (S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;

-      если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.

-      В силу финансовой эквивалентности:

S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

-      Умножим и разделим данное выражение на vx,тогда:

nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx *(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)

Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw

Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1

nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n)

-      Если страхование пожизненное, то nAx= Mx/Dx

2.     Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.

-      Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие выражение: S*(P+P*px*v+P*2px*v2+P*3px*v3+…+P*t-1pxvt-1) = S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn

-      P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)= (Mx-Mx+n)/Dx

-      P*( 1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)* (vx/vx)= (Mx-Mx+n)/Dx

-     

-     

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом (страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут вносится в начале года – пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах. Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

Виды страховых аннуитетов.

Пояснение

Формула

Постнумерандо.

Аннуитет пожизненный, немедленный – лицу, начиная с возраста х лет пожизненно в конце года выплачивается по 1 рублю.
Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный – уплачивается пожизненно лицу в возрасте x+n лет по одному рублю в конце каждого года.
Аннуитет немедленный, ограниченный – выплачивается лицу в возрасте x лет в течение t лет, по 1 рублю, в конце каждого года.
Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный – лицу, в конце каждого года выплачивается по 1 рублю, начиная с возраста n лет, до возраста t лет.

Пренумерандо.

Аннуитет пожизненный, немедленный Выплаты производятся в начале года.
Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный
Аннуитет немедленный, ограниченный
Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный

Соотношения

Рента уплачиваемая k раз в год.

Для ограниченной ренты
Для пожизненной ренты.

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида:


Информация о работе «Расчет тарифных ставок в страховании»
Раздел: Страхование
Количество знаков с пробелами: 71448
Количество таблиц: 6
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
57348
13
4

... (застрахованного) в результате страхового случая, т. е. фактически происшедшего страхового события [11, с. 49]. В зарубежной страховой практике широко применяется страхование экономических рисков: коммерческих, технических, правовых, политических и рисков в финансово-кредитной сфере. Риск является объективной предпосылкой возникновения страховых событий; если нет риска — нет и потребности в ...

Скачать
31107
7
2

... , точность тарифа обеспечивается меньшим значением коэффициента  и, в конечном итоге, рисковой надбавки (Tр). 3. Рассчитывается тарифная нетто-ставка на 100 руб. страховой суммы или в процентах. Особенности актуарных расчетов по добровольному медицинскому страхованию. Добровольное медицинское страхование (ДМС) в плане актуарных расчетов отличается от других рисковых видов страхования тем, что в ...

Скачать
20752
0
0

... экстраполяции). Располагая даже простейшей таблицей смертности, можно рассчитать ряд показателей, характеризующих смертность и доживаемость среди изучаемого населения, которые позволят рассчитать тарифы по страхованию жизни. Например, при страховании на дожитие страховщик обязуется выплатить страховую сумму застрахованному лицу, если тот доживет до конца срока страхования. Для определения размера ...

Скачать
56259
0
1

... страхового сообщества; эффективная деятельность профессиональных ассоциаций страховщиков, страховых посредников и обществ по защите прав страхователей. Отдельные проблемы развития страхового рынка находятся в стадии решения. Например, в интересах повышения прозрачности своей деятельности для зарубежных инвесторов некоторые страховые организации уже приступили к внедрению международных ...

0 комментариев


Наверх