Навигация
13. Нормальное распределение.
Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.
Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов.
Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса).
В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко. Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия).
Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов.
При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.
Нормальное распределение выражается функцией вида:
Данная функция характеризует плотность нормального распределения вероятности, ее математическое ожидание , а показатель степени – стандартное значение отклонений эмпирических данных от среднеарифметических.
Масштабирование данных кривой по оси x осуществляется величинами среднеквадратического отклонения . Так как показатель степени функции возведет в четную степень, функция положительна, кривая симметрична относительно средней, то есть показатель асимметрии равен . Показатель эксцесса кривой нормального распределения так же равен 0.
Значения параметров и влияют на форму и положение графика на координатной плоскости. С изменением при кривая скользит вдоль оси x. С изменением при чем больше тем более плосковершинной становится нормальная кривая. Нормальная кривая имеет точки перегиба с координатами . Площадь, ограниченная функцией и ординатами, проведенными из точек с координатами:
составляет 0,6827 площади всей кривой;
- 0,9545 площади всей кривой;
- 0,9973 площади всей кривой.
14. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона.
Нормальный характер распределения свидетельствует о количественной однородности статистических данных и об отсутствии каких-либо причин существенным образом определяющих вариацию изучаемого явления.
Поэтому статистический анализ нередко начинается с проверки того, как фактически (эмпирически) данные ложатся на идеальную теоретическую кривую или апроксимируются (то есть выражение данных какой-либо кривой) сравнение эмпирических и теоретических данных. Производится путем оценки гипотезы нормального характера распределения. Вероятностные статистические предположения выдвигаются в виде нулевой гипотезы. Отклонения данных эмпирических от нормальных носят случайный характер. Оценку нулевой гипотезы в данном случае осуществляют графическим методом или путем расчета специальных обобщающих показателей сходства, называемых критериями согласия.
Независимо от выбранного метода генеральные ряды распределения преобразуются в дискретные и стандартизируются.
Пример: Известно, что среднемесячная заработная плата всех рабочих =1402,42 руб., среднеквадратическое отклонение =338,58 руб.
Данные распределения среднемесячной заработной платы.
| Средне-месячная заработная плата | Число раб-ков, (эмпир.) | (теор.) | |||||||
| До 700 | 16 | 600 | -2,37 | -2,81 | 0,0241 | 12,93 | 3,07 | 9,41 | 0,73 |
| 700,1-900 | 56 | 800 | -1,78 | -1,58 | 0,0819 | 44,04 | 11,96 | 142,95 | 3,25 |
| 900,1-1100 | 89 | 1000 | -1,19 | -0,71 | 0,1969 | 105,82 | -16,82 | 282,90 | 2,67 |
| 1100,1-1300 | 172 | 1200 | -0,60 | -0,18 | 0,3337 | 179,35 | -7,35 | 54,05 | 0,30 |
| 1300,1-1500 | 244 | 1400 | -0,01 | 0,00 | 0,3989 | 214,44 | 29,56 | 873,70 | 4,07 |
| 1500,1-1700 | 163 | 1600 | 0,58 | -0,17 | 0,3365 | 180,87 | -17,87 | 319,44 | 1,77 |
| 1700,1-1900 | 93 | 1800 | 1,17 | -0,69 | 0,2002 | 107,62 | -14,62 | 213,80 | 1,99 |
| 1900,1-2100 | 64 | 2000 | 1,76 | -1,56 | 0,0840 | 45,17 | 18,83 | 354,42 | 7,85 |
| Свыше 2100,1 | 13 | 2200 | 2,36 | -2,77 | 0,0249 | 13,38 | -0,38 | 0,14 | 0,01 |
| Итого | 910 | 22,63 |
В связи с тем, что табличные значения рассчитаны для непрерывно изменяющегося признака с дисперсией равной 1, необходимо скорректировать полученные частости на фактическую величину интервала и среднеквадратическое отклонение.
, где величина интервала. Так как все интервалы равны , тогда .
Графики не позволяют определить насколько существенны отклонения, поэтому более точным считается способ расчета критериев согласия. Наиболее известный из них:
В соответствии с формулой, чем сильнее совпадение кривых, тем меньше величина . При отсутствии отклонений , но даже при небольших отклонениях величина зависит от числа слагаемых (то есть от числа групп). Если >0, то необходима его вероятностная оценка (стр. 368).
- число степеней свободы и заданная вероятность несущественности отклонений эмпирических данных и теоретических. r – число групп, k - число параметров, которые нельзя изменить.
Поскольку фактическое значение (22,63) гораздо больше табличного (5,348) даже для вероятности 0,5, гипотеза о случайном характере отклонений эмпирических данных от теоретических отклоняется.
Похожие работы
... Доказать: По определению второй смешанной производной. Найдем по двумерной плотности одномерные плотности случайных величин X и Y. Т.к. полученное равенство верно для всех х, то подинтегральные выражение аналогично В математической теории вероятности вводится как базовая формула (1) ибо предлагается, что плотность вероятности как аналитическая функция может не существовать. Но т.к. в нашем ...
... равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о ...
... {ξn (ω )}¥n=1 . Поэтому, во-первых, можно говорить о знакомой из математического анализа (почти) поточечной сходимости последовательностей функций: о сходимости «почти всюду», которую в теории вероятностей называют сходимостью «почти наверное». Определение 46. Говорят, что последовательность с. в. {ξn } сходится почти наверное к с. в. ξ при n ® ¥ , и пишут: ξn ...
... ничего другого, кроме как опять же события и . Действительно, имеем: *=, *=, =, =. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: . В самом деле: *=,*=,=,. 2.Вероятность. Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только ...
0 комментариев