Множественная корреляция

2.3. Множественная корреляция

Проведенный выше анализ статистических совокупностей позволяет изучить взаимосвязь только двух переменных.

На практике же часто приходится исследовать зависимость результирующего признака от нескольких факторных признаков. В этом случае статистическая модель может быть представлена уравнением регрессии с несколькими переменными. Такая регрессия называется множественной (множественная корреляция).

Например, линейная регрессия с m независимыми переменными имеет вид:

y_i = a₀x₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_mx_m, (2.1)

где а₀, а₁, а₂, …, а_m – параметры уравнения регрессии,

m – число независимых переменных,

х₀, х₁, х₂, …, х_m – значения факторного признака,

y_i – значение результирующего признака.

При оценке параметров этого уравнения в каждом i-том наблюдении фиксируют значения результирующего признака у и факторных признаков х_i0…х_im.

Оценки параметров уравнения регрессии находятся с помощью метода наименьших квадратов, который в случае множественной регрессии удобнее представить в матричной форме.

Применяются следующие обозначения:

а = (а_j), j = 0,1,…,m – вектор оценок параметров, m – число неизвестных параметров;

у = (у_i), i = 1,2,…,n – вектор значений зависимой переменной, n – число наблюдений;

х = (х_ij) – матрица значений независимых переменных размерностью n(m+1);

е = (e_i) – вектор ошибок в уравнении с оцененными параметрами.

Уравнение регрессии с оцененными параметрами имеет вид:

у = Ха, (2.2)

Линейная модель (2.1) в векторном виде имеет вид:

у = Ха + е. (2.3)

Сумма квадратов отклонений равна:

Q = åе_i² = e^Te = (y-Xa)^T(y-Xa) = y^Ty – a^TX^Ty – y^TXa + a^TX^TXa =

= y^Ty – 2a^TX^Ty + a^TX^TXa, (2.4)

где Т – знак операции транспонирования, т.е. строки исходной матрицы в транспонированной занимают положение столбцов.

Дифференцированием Q по а получается

= -2Х^Ту + 2(Х^ТХ)а (2.5)

Приравниванием производной к нулю получается выражение для определения вектора оценки а:

Х^Ту = Х^ТХа,

а = (Х^ТХ)^-1(Х^Ту). (2.6)

Оценку а, определенную изложенным способом, называют оценкой метода наименьших квадратов. Применительно к уравнению регрессии (2.1) матрицы коэффициентов имеют вид:

I x₁₁ x₁₂ … x_1m

I x₂₁ x₂₂ … x_2m

X = … … … … … ,

… … … … …

I x_n1 x_n2 … x_nm

и, следовательно,

n åx_i1 … åx_im

åх_i1 åx_i1²… åx_i1x_im

X^TX= … … … … ,

… … … …

åх_im åx_i1x_im … åx_im²

åу_i

åy_ix_i1

Х^Ту= : .

:

åy_ix_im

Суммирование производится по числу наблюдений n.

2.4. Применение множественной корреляции к изучению состава кадров на промышленном предприятии

Рассматривается пример:

Переменная у (заработная плата) зависит от разряда х₁ и степени выплачивания норм х₂ . Принимая линейную модель множественной регрессии в виде

y=a₀+a₁x₁=a₂x₂

 

определить оценки а0, а1, а2 параметров по методу наименьших квадратов.

Исходные данные по 30 рабочим приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3.

Сведения о заработной плате, стажу и степени выполнения норм по 30 рабочим на промышленном предприятии

i	y, зар.плата	x1, разряд	x2, степень вып. норм
1	2	3	4
1	1100,1	5	117,4
2	1121,3	5	118,3
3	700,5	3	102,4
4	801,5	5	113,7
5	714,5	4	101,5
6	1500,5	7	127,5
7	1100,9	6	118,4
8	575,8	4	97,4
9	1598,5	7	134,5
10	704,5	4	98,5
11	714,5	4	101,5
12	763,1	4	109,4
13	670,4	2	121,3
14	764,3	4	117,4
15	1307,4	7	129,7
16	800,4	5	118,6

Продолжение табл.2.3.

1	2	3	4
17	619,7	4	103,3
18	1607,4	7	136,7
19	614,1	6	114,9
20	691,8	4	100,3
21	576,4	3	100,9
22	900,7	5	99,6
23	587,3	6	105,4
24	814,4	6	103.7
25	767,5	5	111,1
26	1409.5	7	127,3
27	1499,7	7	129,9
28	904,4	6	117,7
29	871,3	5	105,4
30	860,5	5	103,2
	Итого	152	3386,9

Оценки а0, а1, а2 следует рассчитать по методу наименьших квадратов.

1 5 117,4 1100,1 1 … 1

X = : : : , Y = : , X^T = 5 … 5

1 5 103,2 860,5 117,4 … 103,2

30 152 3386,9 27662,9

X^TX = 152 824 17466 , X^Ty = 150068,4 ,

3386,9 17466 38632,4  3215384

0,004570565 -0,000891327 2,27457Е-06

(X^TX)^-1 = -0,000891327 0,000172501 1,53416Е-07 .

2,27457Е-06 1,53416Е-07 –3,37237Е-07

Вектор оценок параметров уравнения линейной регрессии равен (см.формулу 2.6.) :

-0,01133

а = 42,08981 .

7,313614

Уравнение линейной регрессии с данными оценками параметров имеет следующий вид:

у = -0,01133 + 42,08981*х₁ + 7,313614*х₂.

Далее следует проводить анализ коэффициентов регрессии.

2.5.Анализ коэффициентов регрессии

В общем случае, чтобы сделать коэффициенты регрессии сопоставимыми, применяют нормированные коэффициенты регрессии.

Коэффициент показывает величину изменения результативного признака в значениях средней квадратичной ошибки при изменении факторного признака х_j на одну среднеквадратическую ошибку:

(2.7)

где а_j – коэффициент регрессии при факторе х_j;

j – 1,2,…,m; m – число факторных признаков;

-                     среднеквадратическое отклонение факторного признака х_j;

-                     среднеквадратическое отклонение результативного признака.

Для множественной регрессии также определяются частные коэффициенты эластичности Э_j относительно х_j:

(2.8)

где - частная производная от регрессии по переменной х_j;

х_j – значение фактора х_j на заданном уровне;

у – расчетное значение результативного признака при заданных уровнях  факторных признаков.

Коэффициент Э_j показывает, на сколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1 процент при фиксировании значений остальных факторов на каком-либо уровне. Если в качестве такого уровня принять их средние значения, то получаем средний коэффициент эластичности.

По данным рассматриваемого примера имеются следующие оценки:

Среднее квадратическое

отклонение: _х1=1,3; _х2=11,5; _у=30,4.

Среднее: х₁=5; х₂=112,9; у=922,1.

- коэффициент: ₁=1,8; ₂=2,8.

Эластичность: Э₁=0,241; Э₂=0,96.

Из анализа полученных результатов по коэффициенту эластичности вытекает, что в среднем второй фактор (степень выполнения норм) в 3,9 раз сильнее влияет на результат (заработную плату), чем первый (разряд):

 

Э₂/Э₁=0,96/0,24=3,9 ,

Анализ же уравнений регрессии по нормированным коэффициентам _j показывает, что второй фактор влияет сильнее всего лишь в 1,5 раза ( ₁/ ₂=1,5), т.е. нормированный коэффициент определяет факторных признаков на результат более точно, т.к. он учитывает вариации факторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив методы статистического анализа, а именно: метод группировки и корреляционный анализ ( парный и множественный ) и применив полученные знания к изучению состава кадров на промышленном предприятии, можно сделать следующие выводы.

С помощью типологической группировки по профессии выявляется следующая тенденция: большинство рабочих на данном промышленном предприятии являются помощниками бурильщиков ( 37% ), что составляет огромный потенциал для дальнейшего профессионального роста и расширения деятельности данной организации.

 Структурная группировка по разряду работников характеризует персонал как среднеквалифицированный, т.к. наблюдается наличие большого количества работников 4 и 5 разрядов ( 54%), в то время как работники 6 и 7 разрядов составляют лишь 37% , а низкоквалифицированные (2 и 3 разряды) – 9%.

Группировка работников по стажу показывает, что большинство работников имеет стаж от 2 до 5 лет ( 33%) и стаж от 5 до 8 и от 8 до 11 лет по 20%. Также наблюдается тенденция к снижению работников с высоким стажем, что подтверждает гистограмма распределения работников по стажу (см. рис.1.1).

Парный корреляционный анализ позволил обнаружить зависимость заработной платы от стажа: с увеличением стажа работников увеличивается их заработная плата, хотя работники со стажем 5-8 лет и 8-11 лет получают в среднем одинаковую заработную плату (915 т.р.), также как и работники со стажем в интервале 14-17 лет и свыше 17 лет ( их заработная плата 1515 т.р.).

Это подтверждает таблица, составленная из группировки работников по стажу и соответствующих каждому интервалу средних значений заработной платы (см.табл.2.2).

Многофакторный анализ зависимости зарплаты от степени выполнения норм и разряда работников показывает, что степень выполнения норм влияет на заработную плату в 1,5 раза сильнее, чем разряд работников (при использовании нормированного коэффициента анализа уравнений регрессии).

Таким образом, использование методов группировки и корреляционного анализа позволило провести исследование состава кадров на промышленном предприятии. Основываясь на полученных выводах, можно повысить уровень работы с персоналом, а следовательно косвенно увеличить производительность труда и степень выполнения норм работниками, что особенно важно в условиях постоянно меняющейся экономической ситуации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.    Герчук Я.П. Графики в математическо-статистическом анализе. – М.: Статистика, 1972.

2.    Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М.:ИНФРА-М, 1996.

3.    Кильдишев Г.C., Аболенцев Ю.И. Многомерные группировки. – М.: Статистика, 1978.

4.    Общая теория статистики : учебник / Под.ред. А.А.Спирина. – М.: Финансы и статистика, 1996.

5.    Сиськов В.И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях. – М.: Статистика, 1975.

6.    Теория статистикки : учебник /Под.ред. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 1996.

Приложение 1 Состав рабочих на промышленном предприятии

№	ФИО	Профессия	Разряд	Степень выполнения норм, %	Стаж, лет	Зарплата,т.р.
1	Алексеев	Бурильщик	5	117,4	8	1100,1
2	Антонов	Бурильщик	5	118,3	8	1121,3
3	Бердяев	Проходчик	3	102,4	5	700,5
4	Воронин	Взрывник	5	113,7	4	801,5
5	Державин	Пом.бурильщика	4	101,5	4	714,5
6	Дронин	Бурильщик	7	127,5	17	1500,5
7	Дьячнов	Проходчик	6	118,4	9	1100,9
8	Жилин	Проходчик	4	97,4	0,8	575,8
9	Княжев	Взрывник	7	134,5	19	1598,5
10	Корлев	Пом.бурильщика	4	98,5	2	704,5
11	Косин	Пом.бурильщика	4	101,5	7	714,5
12	Ламин	Пом.бурильщика	4	109,4	7	763,1
13	Марков	Горнорабочий	2	121,3	5	670,4
14	Москвин	Проходчик	4	117,4	4	764,3
15	Носов	Взрывник	7	129,7	6	1307,4
16	Осипов	Пом.бурильщика	5	118,6	4	800,4
17	Пахомов	Пом.бурильщика	4	103,3	3	619,4
18	Петров	Бурильщик	7	136,7	16	1607,4
19	Порохов	Взрывник	6	114,9	4	614,1
20	Родге	Пом.бурильщика	4	100,3	2	691,8
21	Рылин	Пом.бурильщика	3	100,9	2	576,4
22	Светлов	Бурильщик	5	99,6	4	900,7
23	Тихинов	Взрывник	6	105,4	7	587,3
24	Торопов	Проходчик	6	103,7	10	814,4
25	Уфимов	Проходчик	5	111,1	11	767,5
26	Френкель	Бурильщик	7	127,3	12	1409,5
27	Фролов	Бурильщик	7	129,9	15	1499,5
28	Хвостов	Пом.бурильщика	6	117,7	11	904,4
29	Цветов	Пом.бурильщика	5	105,4	10	871,3
30	Яров	Пом.бурильщика	5	103,2	10	860,5