Нахождение опорного плана транспортной задачи

. ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ, ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ЕЕ ПОСТАНОВКА И СВОЙСТВА

1.1 Постановка задачи линейного программирования

В экономике помимо соотношений затрат, выпуска, спроса, предложения и т.п., часто возникает необходимость выбора одного из возможных вариантов функционирования экономической системы. Экономически оправдано в таких условиях ставить вопрос о выборе наилучшего варианта. Что понимать под лучшим вариантом задается в виде критерия (цели). В количественном выражении критерий представляет собой функциональную зависимость от переменных показателей, в дальнейшем будем ее называть целевой (критериальной) функцией. Наилучший вариант в таком случае соответствует наибольшему (экстремальному, оптимальному) значению функции.

В экономических задачах, как правило, область изменения переменных параметров ограничена и оптимальное значение целевой функции требуется найти на ограниченном множестве. Область исследования, заключающаяся в нахождении алгоритмов решения подобных задач, образует направление, которое называется математическим программированием.

Экономические требования накладывают свои особенности: в практических задачах число переменных и ограничений достаточно велико, целевая функция не всегда дифференцируема. Поэтому методы классического анализа для отыскания экстремумов к задачам математического программиро­вания часто неприменимы. Возникает необходимость разработки специальных методов решения задач математического программирования и, следовательно, как всегда в таких случаях, появляются новые направления, требующие упорядочения, классификации. Классификация задач происходит в зависимости от экономических условий, видов ограничений, переменных и параметров, методов решения.

Традиционно в математическом программировании выделяют следующие основные разделы.

Линейное программирование - целевая функция линейна, множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. В свою очередь в линейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создать специальные методы их решения, выгодно отличающиеся от методов решения задач общего характера. Так, в линейном программировании появился раздел транспортных задач, блочного программирования и др.

Н

лист

Кп-км-п-44-2203-99

елинейное программирование - нелинейны целевая функция и ограничения. Нелинейное программирование принято подразделять следующим образом:

- выпуклое программирование - когда выпукла целевая функция, если рассматривается задача ее минимизации (либо выпуска, если ищется максимум), и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача;

- квадратичное программирование - когда целевая функция квадратичная, а ограничения - линейные равенства и неравенства.

Многоэкстремальные задачи - здесь обычно выделяют специализиро­ванные классы задач, часто встречающихся в приложениях, например, задачи о минимизации на выпуклом множестве вогнутых функций.

Важным разделом математического программирования является целочисленное программирование - когда на переменные накладываются условия целочисленности.

Первой из "неклассических" задач оптимизации была подробно исследована задача отыскания экстремума линейной функции на множестве, заданном линейными неравенствами и равенствами. Раздел теории оптимизации, изучающий такие задачи, получил название "линейное программирование".

В данном разделе изучается задача линейного программирования, которая задается следующим образом.

1. Задача решается относительно переменных .

В дальнейшем они будут записываться в виде либо вектора-столбца

( X1)

X = ( .. )

( Xn)

либо вектора-строки х = (х1, ..., хn).

Предполагается, что вектор х должен удовлетворять системе n линейных неравенств

a11x1+ …. +a1nxn =0 (16)

Стандартная задача линейного программирования на минимум

(матричная запись) записывается в виде:

(p,x) max x (17)

при условиях:

ax>=b

x>=0 (18)

или в записи в виде неравенств:

Лист

Кп-км-п-44-2203-99

EpjXj  min x1..xn

при ограничениях:

E aij xj>=bi

…………..

E aij xj>=bm

X1….xn>=0

Таким образом, не важно, в какой форме получаются линейные ограничения: в форме равенств или в форме неравенств. Эквивалентными преобразованиями возможно привести неравенства к равенствам и наоборот. Необходимость преобразований обычно связана с тем, какой применяется метод решения.

1.3 Транспортная задача

Пусть некоторый, однородный товар (продукт) хранится на M складах и потребляется в N пунктах (например, магазинах). Известны следующие параметры:

ai - запас продукта на -ом складе, ai>0, i=1,….,m

bj- потребность в продукте в -ом пункте, bj>0,j=1,….,n

Cij - стоимость перевозки единичного количества товара с -го склада в -й пункт, . Планируется полностью перевезти товар со складов и полностью удовлетворить потребности в пунктах назначения. При этом предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям:

m n

E ai = E bj (19)

i=1 j=1

Транспортная задача ставится как каноническая задача ЛП следующего специального вида:

m n

E E CijXij  min (20)

i=1 j=1

при условиях:

Лист

Кп-км-п-44-2203-99

n

E xij=ai,i=1,…,m (21)

J=1

n

E xij=bj,j=1,….,n (22)

I=1

Xij>=0, i=1,…..m j=1,….n (23)

где - количество товара, перевозимого с I-го склада в J-ый пункт. Иными словами, требуется так организовать перевозки продукта со складов в пункты потребления, чтобы при полном удовлетворении потребностей минимизи­ровать суммарные транспортные расходы. Заметим, что условие ( ) является необходимым и достаточным для существования решения транспортной задачи.

Лист

Кп-км-п-44-2203-99