Полуточка: модель скорости

6806
знаков
37
таблиц
0
изображений

Каратаев Евгений Анатольевич

Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.

Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.

Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:

\begin{displaymath}
p \rightarrow \varkappa p \acute{\widetilde{\varkappa}}
\end{displaymath}

(1)

Считается, что точка $p$принадлежит миру с временем $S$:

\begin{displaymath}
S = \ln{\left(\left\vert p\right\vert\right)} = Re\left(\ln{\left( p \right)}\right)
\end{displaymath}

(2)

В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.

Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:

\begin{displaymath}
p \rightarrow e^{\alpha \Delta S} p \acute{\widetilde{ e^{\alpha \Delta S} }}
\end{displaymath}

(3)

Здесь величина $e^{\alpha \Delta S}$определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом $\Delta S$есть разность времён этих двух миров:

\begin{displaymath}
S \rightarrow S + \Delta S
\end{displaymath}

(4)

Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:

\begin{displaymath}
\lim\Delta S = 0
\end{displaymath}

(5)

Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина $x$зависит от величины $t$, и с течением $t$величина $x$испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин $x$и $t$:

\begin{displaymath}
v = \dot{x} = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{displaymath}

(6)

Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:

\begin{displaymath}
p \rightarrow \varkappa p \acute{\widetilde{\varkappa}}
\end{displaymath}

(7)

и

\begin{displaymath}
p \rightarrow \varkappa p \acute{\overline{\varkappa}}
\end{displaymath}

(8)

Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:

\begin{displaymath}
\varkappa = e^{\varphi} = exp\left(\dot{i}i \varphi_1 + \do...
...t{i}\varphi_4 + i \varphi_5 + j \varphi_6 + k \varphi_7\right)
\end{displaymath}

(9)

\begin{displaymath}
\acute{\widetilde{\varkappa}} = exp\left(\dot{i}i \varphi_1...
...t{i}\varphi_4 - i \varphi_5 - j \varphi_6 - k \varphi_7\right)
\end{displaymath}

(10)

\begin{displaymath}
\overline{\acute{\varkappa}} = exp\left(\dot{i}i \varphi_1 ...
...t{i}\varphi_4 - i \varphi_5 - j \varphi_6 - k \varphi_7\right)
\end{displaymath}

(11)

Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:

\begin{displaymath}
p \rightarrow \varkappa_n e^{\dot{i}\varphi_4} p \acute{\wi...
...{i}\varphi_4}
= \varkappa_n p \acute{\widetilde{\varkappa_n}}
\end{displaymath}

(12)

\begin{displaymath}
p \rightarrow \varkappa_n e^{\dot{i}\varphi_4} p \acute{\wi...
...kappa_n p \acute{\widetilde{\varkappa_n}}e^{2\dot{i}\varphi_4}
\end{displaymath}

(13)

где через $\varkappa_n$обозначен оператор $\varkappa$с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:

\begin{displaymath}
\varkappa_n = exp\left(\dot{i}i \varphi_1 + \dot{i}j \varph...
...i}k \varphi_3 + i \varphi_5 + j \varphi_6 + k \varphi_7\right)
\end{displaymath}

(14)

Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.

А именно:

\begin{displaymath}
\widetilde{\left(e^q\right)} = e^{\widetilde{q}}
\end{displaymath}

(15)

\begin{displaymath}
\acute{\left(e^q\right)} = e^{\acute{q}}
\end{displaymath}

(16)

Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.

В силу того, что величина $S$и её приращение являются скалярами, имеем:

\begin{displaymath}
\acute{\widetilde{\left(e^{\alpha \Delta S}\right)}} = e^{\acute{\widetilde{\alpha}} \Delta S}
\end{displaymath}

(17)

И в случае когда $\Delta S$мало, имеем:

\begin{displaymath}
e^{\alpha \Delta S} \approx 1 + \alpha \Delta S
\end{displaymath}

(18)

\begin{displaymath}
x \rightarrow e^{\alpha \Delta S} \varkappa \approx \varkappa + \alpha \varkappa
\Delta S
\end{displaymath}

(19)

Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:

$\displaystyle p \rightarrow \left(\varkappa + \alpha\varkappa\Delta S\right)
\l...
...pa}} + \acute{\widetilde{\varkappa}}\acute{\widetilde{\alpha}}\Delta S\right) =$

$\displaystyle = \varkappa\acute{\widetilde{\varkappa}} + \alpha\varkappa\acute{...
...alpha\varkappa\acute{\widetilde{\varkappa}}\acute{\widetilde{\alpha}}\Delta S^2$

(20)

Оставив члены первого порядка малости по $\Delta S$:

\begin{displaymath}
p \rightarrow \varkappa\acute{\widetilde{\varkappa}} + \alp...
...acute{\widetilde{\varkappa}}\acute{\widetilde{\alpha}}\Delta S
\end{displaymath}

(21)

Используя определение полуточки

\begin{displaymath}
p = \varkappa\acute{\widetilde{\varkappa}}
\end{displaymath}

получим:

\begin{displaymath}
p \rightarrow p + \left(\alpha{p} + \acute{\widetilde{p}}\acute{\widetilde{\alpha}}\right)\Delta{S}
\end{displaymath}

(22)

Положив точку функцией величины $S$и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности $p$, получим:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \alpha{p} + \acute{\widetilde{p}}\acute{\widetilde{\alpha}}
\end{displaymath}

(23)

Это выражение и является определением скорости точки $p$, если она движется во времени $S$, испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:

\begin{displaymath}
p \rightarrow e^{\alpha\Delta{S}}p\acute{\widetilde{e^{\alpha\Delta{S}}}}
\end{displaymath}

(24)

Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:

\begin{displaymath}
\acute{\widetilde{\left(\alpha p +\acute{\widetilde{p}}\alp...
... = \acute{\widetilde{p}}\acute{\widetilde{\alpha}} +
\alpha p
\end{displaymath}

(25)

То есть абсолютное приращение точки $p$выполняется несмотря на произвольность величины $\alpha$так, что точка $p$остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.

Отметим также, что в силу свойства точки $p = \acute{\widetilde{p}}$верно равенство:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \alpha{p} + \acute{\widetilde{p}}\acute{\widetilde{\alpha}} = \alpha p + p \acute{\widetilde{\alpha}}
\end{displaymath}

(26)

Далее...

Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины $p$и $\alpha$дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.

Для понимания дальнейшего вывода представим величины $p$и $\alpha$в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:

$\displaystyle p = p_m + \omega p_d$

$\displaystyle \alpha = \alpha_m + \omega \alpha_d$

(27)

Здесь индексом $m$обозначены главные части, а индексом $d$- дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:

\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\frac{dp}{dS} = \alpha{p} + \acute{\widet...
... p_d \acute{\widetilde{\alpha_m}}\right) \nonumber
\end{array}\end{displaymath}

Сгруппировав главные и дуальные части, получим:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \alpha_m p_m + p_m\acute{\widetilde{\alpha_...
...a_d}} + \alpha_m p_d + p_d \acute{\widetilde{\alpha_m}}\right)
\end{displaymath}

(28)

Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин $p_m$, $p_d$, $\alpha_m$и $\alpha_d$, оценим характер вклада в скорость точки $p$отдельных величин $\alpha_m$и $\alpha_d$. А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.

Случай 1.

Зададим точку $p$как дуальный вектор с единичной главной частью:

\begin{displaymath}
p = 1 + \omega p_d \ \ \ \ (p_m = 1)
\end{displaymath}

(29)

а величину $\alpha$как дуальный вектор с нулевой главной частью:

\begin{displaymath}
\alpha = \omega\alpha_d \ \ \ \ (\alpha_m = 0)
\end{displaymath}

(30)

Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \alpha_m + \acute{\widetilde{\alpha_m}} + \...
...a_d}}
+ \alpha_m p_d + p_d\acute{\widetilde{\alpha_m}}\right)
\end{displaymath}

(31)

В силу того, что выбрано условие $\alpha_m=0$, имеем:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \omega\left(\alpha_d + \acute{\widetilde{\alpha_d}}\right)
\end{displaymath}

(32)

Таким образом, в приведённых выше условиях величина $\alpha_d + \acute{\widetilde{\alpha_d}}$является линейной скоростью приращения дуальной части $p_d$. В силу того, что в состав величины $\alpha_d$входит как полярная, так и дуальная части, то есть:

\begin{displaymath}
\alpha_d = Pol\left(\alpha_d\right) + Ax\left(\alpha_d\right)
\end{displaymath}

(33)

то в силу свойств функций $Pol$и $Ax$, определённых как

\begin{displaymath}
Pol(q) = \dot{i}i q_1 + \dot{i}j q_2 + \dot{i}k q_3 + \omega \dot{i}i q_9 +
\omega \dot{i}j q_{10} + \omega \dot{i}k q_{11}
\end{displaymath}

(34)

\begin{displaymath}
Ax(q) = i q_5 + j q_6 + k q_7 + \omega i q_{13} +
\omega j q_{14} + \omega k q_{15}
\end{displaymath}

(35)

И имеющих свойства сопрягаться:

\begin{displaymath}
\acute{\widetilde{Pol(q)}} = Pol(q)
\end{displaymath}

(36)

\begin{displaymath}
\acute{\widetilde{Ax(q)}} = - Ax(q)
\end{displaymath}

(37)

Имеем равенство для первого случая:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = 2\omega Pol\left(\alpha_d\right)
\end{displaymath}

(38)

Или: величина $2Pol\left(\alpha_d\right)$является линейной скоростью изменения вектора $p_d$.

Случай 2. Выберем величины $p$и $\alpha$такими, что выполняются следующие условия:

\begin{displaymath}
p_m = 1, \ \ \alpha_d = 0, \ \ Pol\left(\alpha_m\right)=0
\end{displaymath}

(39)

Используя выражение (29) с этими условиями, получим:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \alpha_m + \acute{\widetilde{\alpha_m}} + \...
...a\left(\alpha_m p_d + p_d
\acute{\widetilde{\alpha_m}}\right)
\end{displaymath}

(40)

В силу выбора $Pol\left(\alpha_m\right)=0$и свойства (38) имеем:

\begin{displaymath}
\alpha_m + \acute{\widetilde{\alpha_m}} = 0
\end{displaymath}

(41)

И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \omega\left(Ax\left(\alpha_m\right)p_d - p_d Ax\left(\alpha_m\right)\right)
\end{displaymath}

(42)

Переведя величины $\alpha$и $p$в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:

\begin{displaymath}
\frac{dp}{dS} = \omega\left[2Ax\left(\alpha_m\right),p_d\right]
\end{displaymath}

(43)

где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов $p_d$и $Ax(\alpha_m)$.

Или: величина $2Ax(\alpha_m)$является угловой скоростью вращения вектора $p_d$.

Таким образом, величины $2Pol(\alpha_d)$и $2Ax(\alpha_m)$имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.

Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний $\alpha$и $p$здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.

К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины $Pol(\alpha_m)$и $Ax(\alpha_d)$, а также отдельное исследование главной части точки $p_m$. В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора $p$, существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://karataev.nm.ru/


Информация о работе «Полуточка: модель скорости»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 6806
Количество таблиц: 37
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
110217
65
118

... проекта зависят технико-экономические показатели проектируемого производства.Планы подготовки компонентов смеси При разработке планов подготовки компонентов смеси следует руководствоваться нормами технологического режима производства шерстяной пряжи [6], где приведены различные варианты планов обработки волокнистых материалов в зависимости от их состояния. Аналогичная информация приводится в ...

0 комментариев


Наверх