Шпора по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)І=aІ±2ab+bІ

(a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі

aІ-bІ=(a+b)(a-b)

aі±bі=(a±b)(aІ∓ab+bІ),

(a+b)і=aі+bі+3ab(a+b)

(a-b)і=aі-bі-3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+aІx^n-3+...+a^n-1)

axІ+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и x₂ — корни уравнения

axІ+bx+c=0

Степени и корни :

a^p·a^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^pb^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pa =b => b^p=a

^pa^pb = ^pab

a ; a ≥ 0

____

/ __ _

^p ^ga = ^pga

___ __

^pka^gk = ^pa^g

_p ____

/ a ^pa

/  = 

 b ^pb

a ^1/p = ^pa

^pa^g = a^g/p

Квадратное уравнение

axІ+bx+c=0; (a0)

x_1,2= (-bD)/2a; D=bІ -4ac

D>0 x₁x₂ ;D=0 x₁=x₂

D a^b = x; a>0,a0

a ^{loga x}= x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

^S_n ^{= ((2a}₁^+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1  q

b²_n = b_n-1 b_n+1

b_n = b₁q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin 

sin (/2 -) = cos 

cos (/2 -) = sin 

cos ( + 2k) = cos 

sin ( + 2k) = sin 

tg ( + k) = tg 

ctg ( + k) = ctg 

sinІ  + cosІ  =1

ctg  = cos / sin ,   n, nZ

tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ

1+tgІ = 1/cosІ , (2n+1)/2

1+ ctgІ =1/sinІ ,  n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y  /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y  /2 + n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin  cos 

cos 2 = cosІ  - sinІ  = 2 cosІ  - 1 =

= 1-2 sinІ

tg 2 = (2 tg)/ (1-tgІ)

1+ cos  = 2 cosІ /2

1-cos = 2 sinІ /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tgІ(/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sinІ /2 = (1 - cos )/2

cosІ/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin 

  + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

_{sin (x+y)}

tg x + tg y = —————

cos x cos y

_{sin (x - y)}

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

_{cos x = (1-tg}² _{2/x)/(1+ tgІ x/2)}

_{sin2x = (2tgx)/(1+tg}²_x)

_{sinІ = 1/(1+ctgІ) = tgІ/(1+tgІ)}

_{cosІ = 1/(1+tgІ) = ctgІ / (1+ctgІ)}

_{ctg2 = (ctgІ-1)/ 2ctg}

_{sin3 = 3sin -4sinі = 3cosІsin-sinі}

_{cos3 = 4cosі-3 cos=}

_{= cosі-3cossinІ}

_{tg3 = (3tg-tgі)/(1-3tgІ)}

_{ctg3 = (ctgі-3ctg)/(3ctgІ-1)}

_{sin /2 = ((1-cos)/2)}

_{cos /2 = ((1+cos)/2)}

_{tg/2 = ((1-cos)/(1+cos))=}

_{sin/(1+cos)=(1-cos)/sin}

_{ctg/2 = ((1+cos)/(1-cos))=}

_{sin/(1-cos)= (1+cos)/sin}

_{sin(arcsin ) = }

_{cos( arccos ) = }

_{tg ( arctg ) = }

_{ctg ( arcctg ) = }

_{arcsin (sin) =  ;  [-/2 ; /2]}

_{arccos(cos ) =  ;  [0 ; ]}

_{arctg (tg ) =  ; [-/2 ; /2]}

_{arcctg (ctg ) =  ;  [ 0 ; ]}

_{arcsin(sin)=}

_{1) - 2k; [-/2 +2k;/2+2k]}

_{2) (2k+1) - ; [/2+2k;3/2+2k]}

_{arccos (cos) =}

_{1) -2k ; [2k;(2k+1)]}

_{2) 2k- ; [(2k-1); 2k]}

_{arctg(tg)= -k}

_{(-/2 +k;/2+k)}

_{arcctg(ctg) =  -k}

_{(k; (k+1))}

_{arcsin = -arcsin (-)= /2-arccos =}

_{= arctg /(1-І)}

_{arccos = -arccos(-)=/2-arcsin =}

_{= arc ctg/(1-І)}

_{arctg =-arctg(-) = /2 -arcctg =}

_{= arcsin /(1+І)}

_{arc ctg  = -arc cctg(-) =}

_{= arc cos /(1-І)}

_{arctg  = arc ctg1/ =}

_{= arcsin /(1+І)= arccos1/(1+І)}

_{arcsin  + arccos = /2}

_{arcctg  + arctg = /2}

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| ≤ 1

x = (-1)ⁿarcsin m + k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = /2 + 2k x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m| ≤ 1

x =  arccos m + 2k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2k x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(1, то знак не меняеться.

2) a(1, то : f(x) >0

(x)>0

f(x)>(x)

2. 00

f(x) 0

f(x) >0

f(x )  1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - 3 cos x = 0

2sin x cos x -3 cos x = 0

cos x(2 sin x - 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2

sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin   m

2k+₁ ≤  ≤ ₂+ 2k

2k+₂ ≤ ≤ (₁+2)+ 2k

Пример:

I cos (/8+x) < 3/2

k+ 5/6< /8 +x< 7/6 + 2k

2k+ 17/24 < x< /24+2k;;;;

II sin  ≤ 1/2

2k +5/6 ≤≤ 13/6 + 2k

cos  (≤) m

2k + ₁ < < ₂+2 k

2k+₂< < (₁+2) + 2k

cos   - 2/2

2k+5/4 ≤≤ 11/4 +2k

tg (≤) m

k+ arctg m ≤≤ arctg m + k

ctg (≤) m

k+arcctg m < < +k

Производная:

(xⁿ)^’ = n x^n-1

(a^x)’ = a^x ln a

(lg a^x )’= 1/(xln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cosІ x

(ctg x)’ = - 1/sinІx

(arcsin x)’ = 1/ (1-xІ)

(arccos x)’ = - 1/ (1-xІ)

(arctg x)’ = 1/ (1+xІ)

(arcctg x)’ = - 1/ (1+xІ)

Св-ва:

(u  v)’ = u’v + uv’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ

Уравнение касательной к граф.

y = f(x₀)+ f ’(x₀)(x-x₀)

уравнение к касательной к графику в точке x