Теорема Штольца

Содержание работы:

Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

Применение теоремы Штольца:

;

нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты ;

;

.

Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y_n вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

.

.

Второе слагаемое справа при n>N становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет , скажем, для n>N^’. Если при этом взять N^’>N, то для n>N^’, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с y_n и x_n, причем варианта x_n возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта a_nимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а_n).

Действительно, полагая в теореме Штольца

X_n=a₁+a₂+…+a_n, y_n=n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что ,

то и

Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

x_n=1^k+2^k+…+n^k, yⁿ=n^k+1,

будем иметь

.

Но

(n-1)^k+1=n^k+1-(k+1)n^k+… ,

так что

n^k+1-(n-1)^k+1=(k+1)n^k+…

и

.

Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

.

Полагая x_n равным числителю этой дроби, а y_n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но ,

а ,

так что, окончательно,

.

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

=

==

==

==

==

==

=.

Пример 3.

=

=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой x_k, g(x_k+1)>g(x_k), т.е. функция возрастающая.

Тогда ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(x_n) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

.

Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

очевидна неопределенность

===2

неопределенность

====0

неопределенность

===

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Мо

Похожие работы

Предел последовательности. Теорема Штольца

Скачать

14921

0

1

... знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны. Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений  типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz). Теорема: Пусть варианта ,  ...

Межа послідовності. Теорема Штольца

Скачать

13684

0

1

... менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні. Для спрощення задачі знаходження межі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца. 4.Теорема Штольца Для визначення меж невизначених виражень типу часто буває корисна наступна теорема, що належить Штольцу (O. Stolz). Теорема: Нехай варіанта , ...

Складні випадки правопису великої букви

Скачать

15730

2

0

... слово постанови, резолюції, протоколу; після двокрапки за словами «Слухали», «Ухвалили» в про-токолі. (Довідкова література з цього питання: «Український правопис», «Довідник з українського правопису».) Велика буква у власних назвах 1. З великої букви пишуться індивідуальні імена, по батькові, прізвища, псевдоніми, прізвиська людей, назви дійових осіб байок, казок, драматичних творів. У подві ...