Приближенное вычисление определенных интегралов

4097
знаков
3
таблицы
1
изображение

Магнитогорский Государственный технический университет

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Формула парабол (формула симпсона)

Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.

Магнитогорск –1999

Н

е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.

Формула парабол (формула Симпсона)

Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид

y = Ax2 + Bx + C.

Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.

Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.

Если криволинейная трапеция ограничена параболой

y = Ax2 + Bx + C,

осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна

S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (☺)

где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка


Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные равенства (h=Δx):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение:


Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.


Примеры

Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:


И

Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).

Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***).

Были получены следующие ответы:


При n = 20.

Приложение

'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол

'(формула Симпсона)

Option Explicit

Sub integral_1()

Dim i As Integer, n As Integer

Dim t As Boolean

Dim b As Double, a As Double

Dim chet As Double, nechet As Double

Dim delta As Double, result As Double

a = 0 '(*)

b = 1  '(**)

t = True

Do

n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")

If n Mod 2 = 0 Then t = False

Loop While t

delta = (b - a) / n

chet = 0

nechet = 0

For i = 1 To n - 1

 If (i Mod 2) = 0 Then

chet = chet + (f(a + (delta * i)))

 Else

nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))

End If

Next i

result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))

MsgBox result, vbInformation, "Результат"

End Sub

Function f(x) As Double

f = Sqr(1 + (x ^ 4)) '(***)

End Function


'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол

'(формула Симпсона)

Option Explicit

Sub integral_1()

Dim i As Integer, n As Integer

Dim t As Boolean

Dim b As Double, a As Double

Dim chet As Double, nechet As Double

Dim delta As Double, result As Double

a = 2 '(*)

b = 5  '(**)

t = True

Do

n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")

If n Mod 2 = 0 Then t = False

Loop While t

delta = (b - a) / n

chet = 0

nechet = 0

For i = 1 To n - 1

 If (i Mod 2) = 0 Then

chet = chet + (f(a + (delta * i)))

 Else

nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))

End If

Next i

result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))

MsgBox result, vbInformation, "Результат"

End Sub

Function f(x) As Double

f = 1 / (Log(x)) '(***)

End Function


Информация о работе «Приближенное вычисление определенных интегралов»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 4097
Количество таблиц: 3
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
9922
2
7

... n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работу 1)  Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: 1.  f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке [0, 1] с шагом , , 2.  f(x)= f(x)= f(x)= ...

Скачать
10801
2
4

... процедура TABL ) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же ...

Скачать
8888
2
7

... ('Введите значение погрешности: '); readln(eps); write ('Введите начальное значение количества разбиений: '); readln(n); writeln; gr (a, b); write ('Ждите, идет обработка данных '); m0:=0; writeln (lf, ' КУРСОВАЯ РАБОТА'); writeln (lf, ' ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА'); writeln (lf, ' «ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ'); writeln (lf, ' ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» '); writeln (lf, ' Выполнил: студ

Скачать
7862
0
2

... сегмента  равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции                 Примеры вычисления определённых интегралов по формуле прямоугольников.   Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников. П р и м е р 1. ...

0 комментариев


Наверх