Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Кривые третьего и четвертого порядка»

Выполнили: студенты

группы С-12-00

Пинаев И.Н.

Искаков Р.Р.

Проверила:

доцент кафедры высшей математики

к.ф.-м.наук Самарина С.М.

Чебоксары, 2002


Декартов лист

1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид

(1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи­тельно х и у, в результате будем иметь:

(2)

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид

(3)

Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет­рично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при­водит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

Точки этой петли, в которых касательные парал­лельны координатным осям, имеют координаты

и (cм. рис. 1)

Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на  приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим

и b = - а. Таким образом, де­картов лист имеет асимптоту

у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Рис. 1

2. Свойства. Согласно теоре­ме Маклорена, если в трех точках алгебраи­ческой кривой 3-го порядка, ле­жащих на одной прямой, про­вести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пере­сечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе

Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3 (t3) декартова листа на одной прямой.

Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декар­тов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T1. Условие (4) примет вид t12 T1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. Перемножая эти три равен­ства, будем иметь

(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T1T2T3 = -1, т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.

Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:


Информация о работе «Кривые третьего и четвертого порядка»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 24482
Количество таблиц: 2
Количество изображений: 14

Похожие работы

Скачать
19075
5
11

... (0.5) в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные. Работа состоит из двух глав. В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя ...

Скачать
39910
10
20

помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага на отрезке . Задачу можно решить аналитически, найдя решение дифференциального уравнения и подставив в него начальное условие, тем самым, отыскав требуемую интегральную кривую. Но для нас интерес представляет решение данной задачи с применением численного метода, а конкретнее – метода Рунге-Кутты 4-го порядка с ...

Скачать
23188
0
17

... при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза. 3. Выбор метода реализации программы Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. этот метод является одноступенчатым и одношаговым требует ...

Скачать
27686
0
13

... при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза3. Выбор метода реализации программы Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений этот метод является одноступенчатым и одношаговым ...

0 комментариев


Наверх