Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

4197
знаков
0
таблиц
5
изображений

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть 0 существует >0, что для всех  из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z0) | < .




(8)


Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

П
одставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :


(9)


Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре  , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы  в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.


Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

П
ри Z0  Г указанный интеграл не существует.


Интегралы, зависящие от параметра.


Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования  и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных  (Z,  ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i  С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция  (Z,  ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция  (Z,  ) и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и  при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

И
нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :


(2)


Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.


ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :



(3)


С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.


ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.


Разложение функции комплексного переменного в ряды.


Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

(2) – разложение в ряд Тейлора.


Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | 0 выполняется условие |f(t)|


Информация о работе «Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 4197
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
12261
1
9

... . Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями. Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к ...

Скачать
60729
0
3

... . Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10). Глава 3. Операционное исчисление   § 14. Преобразование Лапласа Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция  называется оригиналом, если выполняются следующие условия: 1)  для всех ...

Скачать
8531
18
1

...   (3.3) Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk. 4. Приближенное интегрирование гармонических функций В этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S) и базисной последовательности полиномов. Теорема 4.1. Существует единственная последовательность такая, что для любой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное ...

Скачать
20108
0
0

... , Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого ak вычисляются по формуле. где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде   Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8). 4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ...

0 комментариев


Наверх