Интеграл Пуассона

Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через  f*g(x)  будем обозначать свертку

f*g(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { c_n ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n = ^{-i n t}dt , n = 0, ±1, ±2,¼

Пусть ¦ Î L¹ (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию

¦_r ( x ) = _n ( f ) r^{|n |} e^{i n x} , x Î [ -p, p ] , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного  r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х) равны

c_n ( f_r ) = c_n × r^{| n  |} , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦_r ( x ) =  , ( 3 )

где

 , t Î [ -p, p ] . ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) =  , 0 £ r < 1 , t Î [ -p, p] . ( 5 )

Если  ¦Î L¹ ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) = `c_n( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

= , ( 6 )

где

 F ( z ) = c₀ ( f ) + 2 ( z = re^ix ) ( 7 )

-      аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L¹( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = ¦_r (e^ix ) , z = re^ix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

 v (z) = Im F (z) =  . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге  | z | < 1+e  ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (e^ix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда

 u (z) = ( z = re^ix , | z | < 1 ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

 =, | z | < 1+ e .

Но тогда

 

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦_r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а)  ;

б)  ;

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ (х) º 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции  , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция  суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам  I , содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор  называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из  . Тогда

 для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для  и

 , ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) [*]. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций  ,что

,

 ( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при  xÎ (-2p,2p)

Учитывая , что по теореме 1  для каждого xÎ [-p, p]  и (14)

Из последней оценки получим

при n®¥.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p] , когда точка re^it стремится к e^ix по некасательному к окружности пути.

 

[*] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] и x-y=2p) и f (x) = 0 , если |x| > 2p .