Геометрия

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть -плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а₁ - прямая в плоскости ,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость ₁ ч/з

прямые а и а₁.

Она отлична от ,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости . Плоскости  и ₁ пересекаются по прямой а₁. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а₁. Но это невозможно, т.к. прямые а и а₁ параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . Ч.Т.Д.

2. V_{параллелепипеда}= S_осн.*H

БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями  и . Докажем, АВ=СD. Плоскость , проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями  и  по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

S_п.п.=2R(H+R)

БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости  и  пересекаются с плоскостью . Докажем, что а  b.

Эти прямые лежат в одной плоскости () и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл.  и  имели бы общ. точку, что невозможно, т.к.   . Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а  b.

2. V_{пирамиды}= 1/3*S_осн.*H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости  и . В

плоскости  лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в  -

- прямые а₁ и b₁,

причем а  а₁ и b  b₁.

Докажем, что плоскос.

-ти  и  не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость  проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости , и пересекает плоскость  по прямой с. Отсюда следует, что

а  с.

Но плоскость  проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости . Поэтому b   с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b,   с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая   с.

Значит, наше допущение неверно и   . Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость , а ч/з М в

в плоскости  прямую

b  a. Докажем, что b  a

единственна.

Допустим, что существует другая прямая b₂  a, и

проходящая ч/з т.М. Через b₂ и а можно провести

плоскость ₂, которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с . По аксиоме о параллельных

прямых b₂ и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. V_ус.кон.=1/3*H(R₁²+R₁R₂+R₂²)

БИЛЕТ 1 А₁ Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А₂ Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.

А₃ Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.

2. S_п.п.=S_бок.+S_осн.; S_бок.=P_осн.*A

БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.

1⁰ Проекция прямой есть прямая.

2⁰ Проекция отрезка есть отрезок.

3⁰ Проекции параллельных отрезков - параллельные отрезки или отрезки, принадлеж.

одной прямой.

4⁰ Проекции параллельных отрезков, а также проекцииотрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Из св-ва 4⁰ следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Док-во: AH - перпенд.

к плоскости , AM -

наклонная, а - прямая

проведенная в плоск.

 ч/з точку M перпенд

к проекцииHM

наклонной.

Рассмотрим плоск.

AMH. Прямая аэтой

плоскости, т.к. она 

к двум пересекающимся прямым AH и MH. Отсюда след.

что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в частности аAM.

Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

S_сеч.=2RH

S_{шар.сег.}=2RH

БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости . Докажем, что аb.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой a. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a b. Допустим, что прямые b и b₁ не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b₁, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости  и . Но это невозможно, след-но, a b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 90⁰.

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости  и  такие, что плоскость  проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости  и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что . Плоскости  и  пересекаются по прямой АС, причем АВАС, Т.к. по усл. АВ, и, значит, прямая АВ к любой прямой, лежащей в плоскости .

Проведем в плоскости  прямую АD,АС. Тогда BAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей  и . Но BAD=90⁰ (т.к. AB). След-но, угол м/у плоскостями  и  равен 90⁰, т.е. . Ч.Т.Д.

S_бок=P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а₁ и плоскость , такую, что а. Докажем, что и а₁.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости .

Так как а, то ах. Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т.е. а₁. Ч.Т.Д.

V_{паралл-да}=abc=S_осн.*H

БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

S_полн=S_бок+2S_осн ; S_бок=P*H(ребро)

БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, S_бок=P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA₁,BB₁,CC₁, и

DD₁ параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA₁..D₁.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда.

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A₁D₁CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁..D₁. Т.к. A₁D₁ BC и

A₁D₁=BC, то A₁D₁CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A₁A₂..A_n

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA₁A₂,PA₂A₃,...,PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂..A_n и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A₁A₂..A_n называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA₁, PA₂, ..., Pa_n - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A¹ -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA¹/SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A¹, т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC₁²=AB²+AD²+AA₁²

Так как ребро CC₁

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ACC₁-прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC₁

по теореме Пифагора получаем AC₁²=AC²+CC₁².

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD². Кроме того, CC₁=AA₁.

След-но AC₁²=AB²+AD²+AA₁² Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB₁A₁ и DCC₁D параллелепипеда ABCA₁..D₁. Т.к. ABCD и ADD₁A₁ - параллелограммы, то ABDC и AA₁DD₁. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD₁ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA₁=DD₁. По той же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и  м/у ними паралл-ма ABB₁A₁ соотв.

равны двум смежным сторонам у  м/у ними пар-ма DCC₁D₁, поэтому эти параллелограммы равны

БИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус

с объемом V. Произвольн.

сечение конуса плоскостью

перпендикулярной к оси Ox,

является кругом с центром

в т.M₁ пересечения этой

плоскости с осью Ox.

Обозначим радиус этого

круга ч/з R₁, а площадь

сечения ч/з S(x), где x-

- абсцисса точки M₁. Из

подобия прямоугольных

треугольников OM₁A₁ и OMA следует, что

OM₁/OM=R₁/R, или x/h=R₁/R, откуда R₁=xR/h.

Так как S(x)=R₁², то S(x)=R²x²/h².

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:

Площадь S основания конуса равна R², поэтому

V=1/3Sh Ч.Т..Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB¹A¹ равна AA¹*AB=2rh, то для вычислений площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула S_бок=2rh

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму

ABCA₁B₁C₁ с объемом V и

высотой h. Проведем такую

высоту треугольника ABC

отрез.BD, которая разделяет

этот треуг. на два треуг.

Плоскость BB₁D разделяет

данную призму на две приз.,

основаниями которых явл.

прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V₁ и V₂ этих призм соответственно равны

S_abdh и S_bdch. V=V₁+V₂, т.е. V=S_abdh+S_bdch=

=(S_abd+S_bdc)h. Таким обр., V=S_abch

2) Докажем теорему для произвольной

призмы с высотой h и площ.

основания S. Такую призму

можно разбить на прямые

треуг. призмы с высотой h.

Выразим объем каждой приз.

по формуле (1) и сложим эти

объемы. Вынося за скобки

множитель h, получим в

скобках сумму площадей

оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды - равные равнобедренные треугольники, основания которых - стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -