Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

4720
знаков
0
таблиц
9
изображений

Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.

Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.

Реферат

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы Х-149

Покровский П.В.

Проверил:

Преподаватель кафедры ВМ и УМФ

Пироговская Л. М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург.

1999.

 

 

1. Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)

c массами m1,m2,m3, . . . , mn.

Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.

Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

2. Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна

 (i = 1, 2, ... ,n).

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам

.

В пределе при  интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

(*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность g.

Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

и

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл  выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

4. Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)

Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.

Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)

Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае  поэтому

 (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)

Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

4)

Условие:

Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .

Решение:

1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги

Следовательно,

5)

Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

.

Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен  

Согласно второй теореме Гульдена,  Отсюда  Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому

III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 2, «Наука», Москва, 1965


Информация о работе «Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 4720
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 9

Похожие работы

Скачать
15035
0
26

... так: , (10) где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты. 1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов 1) Площадь плоской области S: (11) Пример 1. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями у = 2, у = 5. Решение. Эту площадь удобно вычислять, считая у ...

Скачать
10533
5
11

; Fy = F * sinα; cos 165= cos (120 + 45)= cos120 * cos45 – sin120 * sin45 = – * – * = –0,97; cos120 = –  = – 0,5; cos 240 = –  = – 0,5; sin 165 = sin (120 + 45) = sin120 * cos45 + cos120* sin45 = *  – *= 0,26; sin 120 =  = 0,87; sin 240 = – = – 0,87. Определяем проекции сил , ,  на координатные оси X,Y: F1x = F1 * cos165 = 75 * (– 0,97) = – 72,75 Н; F1y = F1 * sin165 = 75 * ...

Скачать
44057
0
0

... , вертели ее так и сяк... Как это похоже на современного ребенка, который играет за экраном компьютера, не подозревая о том, на что способна эта машина! 6. Закат греческой математики Во 2 веке до н.э. расцвет греческой науки прекратился. Это было неизбежно: толпу на улицах имперских столиц теперь волновали совсем иные проблемы, чем квадратура круга или движение Марса среди звезд. Математика ...

Скачать
68032
2
4

... условий взаимной уравновешенности системы сил является одной из основных задач статики. На основе изложенной в первой главе курсовой работы алгоритм конструкции языка программирования Паскаль составим и решим ряд задач по прикладной механике. Сформулируем задачу по статике первому разделу прикладной механики. Задача. Найти центр тяжести тонкого круглого однородного стержня изогнутого по дуге ...

0 комментариев


Наверх