Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).
Пояснение:  Пусть: . Тогда:  Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве .

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.

 Классы интегрируемых функций

Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То - интегрируема на .
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и .

Существование первообразной

Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция - интеграл с переменным нижним пределом.

Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где .
Замечание 1: Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2: Поскольку - одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .

Теорема. Если 1. Функция и ее производная непрерывны при

2. множеством значений функции  при является отрезок [a;b]

3. , то =.

Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

=.

Формула замены переменной в определенном интеграле.


Информация о работе «Высшая математика, интегралы (шпаргалка)»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 9574
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
330445
3
30

... . Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с по­мощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание от­носят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики нео­позитивисты усматривают в том, что в ней доминируют беспо­лезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий ...

Скачать
71404
0
0

... положительное отношение к человеку. 5.Обаяние, как помощник в общении Что же помогает человеку в его общении с другими людьми? На что ему опираться? Секрет удачного общения в обаянии. Что же это такое? раздумья о тех, кто удачливее в контактах, кто легче привлекает к себе симпатии и уважение собеседников. «Обаяние»-понятие весьма неоднозначное. Есть, например, «обаяние молодости», о котором ...

Скачать
78056
0
20

... Windows будем подразумевать операционные системы Windows 95 и Windows NT, имеющие практически идентичный интерфейс пользователя. С точки зрения работы в них системы MathCAD 7. 0 разницы между этими операционными системами нет. 1. 2. Инсталляция и запуск системы Системы MathCAD 7. 0 PRO поставляются на CD-ROM (возможна поставка минимальных версий и на 3, 5-дюймовых дискетах). При этом полная ...

0 комментариев


Наверх