Билеты по геометрии (11 класс)

Билет № 3

1.     Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2.     Объем призмы.

1.Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку a ÈA

2.Прямая лежит в плоскости а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ï a

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА₁В₁С₁с объемом V и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ₁D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V₁ и V₂ соответственно равны S_ABD ·h и S_ВСD ·h. По св-ву 2⁰ объемов V=V₁+V₂ т.е  V= S_ABD ·h+ S_ВСD ·h= (S_ABD+ S_ВСD) h. Т.о. V=S_АВС·h

Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как S_пол = ^1//₂ ab то S_∆=ab =>V_∆= Sh ч.т.д.

Билет №5

1.     Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2.     Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^ проведенным из

т А к пл α, a т Н — основанием ^. Отметим в пл α  какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^ АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

 

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F_n а в

эту призму впишем цилиндр Р_п . Обозначим через V и V_n объемы цилиндров Р и Р_п, через r_п — радиус цилиндра Р_п. Так как объем призмы F_n  равен S_nh, где S_n- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму F_n , кот в свою очередь , содержит цилиндр Р_{п ,} тоV_n<S_nh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус r_п цилиндра Р_п стремиться к радиусу r цилиндра Р(r_п=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Р_п стремиться к объему цилиндра Р: limV_n=V. Из равенства (V_n<S_nh<V) =>, что

n→∞

limS_nh=V. Но limS_n=πr² Т.о V=πr²h. т.к πr²=S , то получим V=S_оснh.

n→∞ n→∞

Билет № 6

1.     Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2.     Объем конуса.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

 

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М₁ пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R₁ ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М₁ . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ₁А₁ и ОМА=> что

ОМ1

=

R1

, или

x

=

R1

откуда

R=

xR

так как

S(x)= pR12

,то

S(x)=

pR2

ОМ

R

h

R

h

h2

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

h

h

h

V=

∫

πR2

x2dx=

πR2

∫

x2dx=

πR2

×

x3

½=

1

πR2 h

h2

h2

h2

3

3

0

0

0

Площадь S основания конуса равна pR², поэтому V=¹/₃Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S₁вычисляется по формуле  V=¹/₃h(S·S₁+√ S·S₁).

Билет №7