Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Динамическое представление сигналов

5966
знаков
0
таблиц
6
изображений

Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

Широкое применение нашли два способа динамического представления.

Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени D (рис. 1.1). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D .

При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.2).

Динамическое представление сигналов

рис 1.1, рис 1.2

Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ .

Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

Динамическое представление сигналов

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2x . Если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Эта математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :

Динамическое представление сигналов

В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :

Динамическое представление сигналов

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.

Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D ,2D ,3D ,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то текущее значение сигнала при любом t приближенно равно сумме ступенчатых функций :

Динамическое представление сигналов

Если теперь шаг D устремить к нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t . При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds = (ds/dt ) dt , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда

Динамическое представление сигналов

Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :

Динамическое представление сигналов

Динамическое представление сигналов

При любом выборе параметра x площадь этого импульса равна единице :

Динамическое представление сигналов

Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.

Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака :

Динамическое представление сигналов

Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :

Динамическое представление сигналов

Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D , то

Динамическое представление сигналов

Переходя к пределу при D ® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t , дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку

Динамическое представление сигналов

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.

Динамическое представление сигналов

Обобщенные функции как математические модели сигналов.

В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция d (t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.

В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦ (t) может служить, например, значение интеграла

Динамическое представление сигналов

при известной функции j (t) , которую называют пробной функцией.

Каждой функции j (t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j (t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть

Динамическое представление сигналов

Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j (t) задана обобщенная функция ¦ (t) . Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточным


Информация о работе «Динамическое представление сигналов»
Раздел: Информатика, программирование
Количество знаков с пробелами: 5966
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
23730
0
8

... функций в виде зависимости их значений от определенных аргументов Δвремени, линейной или пространственной координаты и т.п.) при анализе и обработке данных широко используется математическое описание сигналов по аргументам, обратным аргументам динамического представления. Так, например, для времени обратным аргументом является частота. Возможность такого описания определяется тем, что любой ...

Скачать
31802
0
6

... . Рассчитываются вторичные параметры: – коэффициент распространения: – волновое сопротивление линии Zв. Вычисленные значения параметров доступны для наблюдения пользователю. Проводная линия с распределенными параметрами заменяется цепочечной расчетной эквивалентной схемой, представляющей собой N последовательно соединенных звеньев. Каждое звено рассматривается как пассивный четырехполюсник с ...

Скачать
18563
18
73

... диаграммах совпадают. Определение энергии и средней мощности заданного сигнала на участке цепи с сопротивлением 1 Ом. Определим энергию сигнала по временному представлению. Контрольная работа №2 Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого порядка Дано: Шифр периодического сигнала s1 ─ 4 из табл. 3[1]; Рис. 1 ...

0 комментариев


Наверх