Обоснование проектных решений

3.3.2. Обоснование проектных решений

3.3.2.1. Анализ при постоянной интенсивности наращения

Модель непрерывного начисления процентов

В банковской практике — особенно при электронных методах производства и регистрации финансовых операций - проценты могут начисляться за 1 сутки или даже за несколько часов. Например, коммерческий банк, находящийся в Москве, может одолжить определенную сумму денег банку, находящемуся во Владивостоке, на 12 часов — с 20 часов сегодняшнего дня до 8 часов следующего дня по московскому времени. За счет разницы во времени Владивостокский банк может добавить эти деньги к своему фонду краткосрочных ссуд, а затем вернуть долг с определенным процентом (или долями процента) к началу работы московского банка. Очевидно, что в этом и другом аналогичных случаях возникает задача начисления процентов за очень малые промежутки времени, т.е. по существу речь идет о непрерывном начислении процентов и их непрерывной капитализации.

При анализе инвестиций также возникает аналогичная задача, поскольку многие производственные и экономические процессы непрерывны по своей природе и такой же должна быть соответствующая им финансовая модель. В главах 1 и 2 мы построили несколько моделей начисления процентов при различной длине периода начисления (конверсионного периода) — от 1 дня до 1 года. Устремляя длину периода начисления к 0, построим теперь математическую модель непрерывного начисления процентов, рассмотрим способы практического применения непрерывной модели, а также сравним результаты дискретного и непрерывного начисления процентов. Для краткости иногда говорят "непрерывные проценты" , имея в виду непрерывное начисление и капитализацию процентов, т.е. бесконечно малый период начисления.

Постоянная интенсивность наращения

Примем за базовый период 1 год и обозначим целое число периодов начисления за год через т, а длину периода начисления через h = 1/т лет, m = 1,2,3,... . Тогда соответствующая положительная годовая ставка, и в силу формулы она связана с эффективной годовой ставкой.

Для простоты обозначим i — номинальная процентная ставка за один период начисления длиной h лет. Тогда из при h = m = 1 получаем

Для практики эффективную годовую ставку удобнее обозначать просто i.

Сделаем небольшое математическое пояснение. Для этого запишем коэффициент А(h) наращения эа любой период

(t, t + h) длиной h = 1/m на рассматриваемом интервале (О, T) в виде

Поскольку h мало, то различие между простыми и сложными процентами пренебрежимо мало. Так как A(0)=1, то— приращение 1 ден. ед. за малое время h (рис. 9.1, где h и т измеряются в годах).

Если А(т) дифференцируема в точке 0 справа, то

где g — угол наклона касательной к А(т) в точке т = 0.Из определения рассматриваемых ставок и результатов п. 2 § 8 следует, что если эффективная ставка i фиксирована, то номинальная ставка, при т —>  и h = 1/т —> О монотонно убывает, оставаясь положительной. Поэтому существует положительное предельное значение, которое мы обозначим через: W.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел 6 номинальной ставки W при т —> называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов. Величину 8 можно назвать также номинальной годовой ставкой при непрерывном начислении процентов.

ТЕОРЕМА 3.1. Эффективная годовая ставка i и номинальная годовая ставка связаны соотношением

Доказательство. В курсе "Алгебра и начала анализа" доказывается, что

е = 2,718282 ... — замечательное число Эйлера (основание натуральных логарифмов). Поэтому в нашем случае

СЛЕДСТВИЕ.Справедлива и следующая двойственная к теореме 3.1

ТЕОРЕМА 9.2. Эффективная годовая ставка d дисконтирования и номинальная годовая ставка связаны соотношением

Для доказательства достаточно перейти к пределу в (3.7) при, использовав при этом вышеприведенные формулы.Формула (3.6) и соотношение и (3.2) позволяют составить таблицу 3.21, иллюстрирующую связь для нескольких значений i от 0,01 до 2) и при малых 1 до 0,10 достаточно близки. Однако с ростом 1" различие между тремя эквивалентными ставками быстро растет.

Таблица 3.21.

Пример 3.1. Найдем наращенное за 5 лет значение суммы S(0)=10 руб., если оно реинвестируется по постоянной ставке = 25% при следующих значениях m:

а) 1 раз в год,

б) 2 раза в год,в) непрерывно.г) Вычислим g для непрерывного начисления процентов.

Пример 3.2. Найдем коэффициент наращения A(т) за т = 1 год при реинвестировании по постоянной ставке = 1 ежегодно, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно ежеминутно и непрерывно. Вычислим для каждого из случаев.

Таблица 3.22.

Функциональная связь между любыми парами из основных параметров

В зависимости от условий задачи может оказаться удобным принять один из четырех основных параметров i, v и d за исходный и выразить через него значения трех остальных. В табл. 3.3 объединены ранее полученные соотношения.

Каждая строка этой таблицы показывает, как параметр, стоящий в обозначении этой строки, выражается через три остальные. Каждый столбец таблицы показывает, как через параметр, стоящий в обозначении этого столбца, выражаются три остальные.

Приближенная связь между основными параметрами

Из теории рядов известно, что при малых х с точностью до членов третьего порядка малости включительно

Подставляя первую из этих формул в (3.4), а вторую — в (3.6) и пренебрегая членами третьего порядка, получим, что при i или не более 0,10-0,20 можно пользоваться приближенными соотношениями: Аналогичным образом из формулы для суммы бесконечного числа членов сходящейся прогрессии следует, что при малых i

Этими приближенными формулами можно пользоваться для ориентировочных расчетов. Однако в финансовой практике надо пользоваться калькулятором или таблицами даже при малых i и

Коэффициенты наращения и дисконтирования при непрерывном наращении процентов

Предположим, что в настоящий момент tо производится инвестиция в сумме S(tо) по постоянной эффективной годовой ставке i. Тогда в силу формулы (3.5) для сложных процентов наращенная к моменту t = tо + т сумма АV¹ составит

где время измеряется в годах, а i и g = ln(1+i) — десятичные дроби.

Если же нам предстоит в будущий момент t > tо уплатить или получить сумму S(t), то ее современная приведенная стоимость РV в настоящий момент tо составит

Итак, нами доказана следующая важная

ТЕОРЕМА 3.3. При постоянной эффективной годовой ставке i к номинальной годовой ставке ln(1 + i) коэффициент наращения зависит лишь от длины т интервала наращения, измеренной в годах, и составляет

Коэффициент дисконтирования за т лет равен

Заметим теперь, что А(т) — коэффициент наращения 1 ден. ед. на интервале (tо, tо + т} при движении по этому интервалу слева направо, т.е. в положительном направлении.

Равенство можно интерпретировать как отрицательное наращение, совпадающее с дисконтированием, поскольку движение по интервалу (t, t + т) происходит справа налево, т.е. в отрицательном направлении. Аналогичным образом интерпретируется равенство

Следовательно, в рассматриваемом случае коэффициенты наращения и дисконтирования взаимозаменяемы и с математической точки зрения можно было бы пользоваться только одним из них. Однако для наглядности удобнее пользоваться двумя коэффициентами в соответствии с прямым содержательным смыслом каждого из них.

Таким образом, как при дискретном, так и при непрерывном начислении сложных процентов справедливо фундаментальное соотношение

В частности, при т = 1 получаем из ранее установленных соотношений

Заметим теперь, что если функцию е задать на интервале то [-;+] при т > 0 она совпадает с А(т), а при т < 0 — с v(т):

При этом А'{0) — интенсивность наращения за базовую единицу времени.

Пример 3.3. Сумма 2000 долл. положена в банк под схему непрерывного начисления процентов с постоянной интенсивностью роста 10% за год. Найдем наращенную в конце года t сумму S(t) при t= 1, 2, 3, 5 и 10.

Решение. Здесь S(t) = 2000е, и ответ содержится в таблице 3.23.

Таблица 3.23.

Пример 3.5. Заемщик В должен уплатить кредитору А по векселю1000 долл. на 01.01.96, 2500 долл. на 01.01.97, 3000 долл. на 01.07.97.Найдем современную стоимость долга С(t) на моменты:а) 01.01.94 и б) 01.04.95 при = 0,06 за год.

Похожие работы

Совершенствование системы документооборота в Отделе участковых милиции Ленинского РОВД

Скачать

213973

23

2

... операций в несколько раз. 4 Обоснование экономической эффективности проекта Задачей проекта является проектирование автоматизированной системы управления документооборотом Отдела организации деятельности участковых уполномоченных милиции Ленинского РОВД. Результатом проекта является снижение трудоемкости, сокращение объема документооборота, повышение достоверности и качества входящей и ...

Математическое обеспечение комплекса задач “Автоматизированная система документооборота учереждения

Скачать

200314

8

2

... , практически, не используются. Проблема информатизации Минторга может быть решена путем создания Автоматизированной Информационной системы Министерства Торговли РФ (АИС МТ РФ) в соответствии с настоящим Техническим предложением.   ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЛЕКСА ЗАДАЧ "СИСТЕМА ДОКУМЕНТООБОРОТА УЧЕРЕЖДЕНИЯ”. функции поиска и архивации 2.1. Постановка задачи и её спецификация ...

Автоматизированные системы документооборота

Скачать

53065

0

0

... · (25 – 20)· 80 / 1992=11752,41рублей,  что составляет 20% от годового фонда заработной платы менеджера 11 разряда, занятого подготовкой и переработкой документов в автоматизированной системе документооборота. 5.2. Экономия затрат на оплату машинного времени При замене базового программного продукта (ПП) на новое, как правило, уменьшается время использования вычислительных средств. Расчет ...

Анализ информационно-технического обеспечения системы управления персоналом

Скачать

116809

6

1

... сетям, что позволяет иметь более полную информацию о рынке труда в целом и даже об отдельных работниках - их прошлых мест работы, специализации, квалификации и т.п. 2. Анализ информационно-технического обеспечения системы управления персоналом ООО "БТСП" 2.1 Краткая характеристика предприятия ООО "БТСП" ООО "БТСП" - это предприятие по перевозке пассажиров, грузов и ремонту прочих ...