Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

13094
знака
8
таблиц
22
изображения

Федеральное агентство связи

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра технической электродинамики и антенн

Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Проверил: Выполнил:

Доцент кафедры ТЭДиА Студент группы БРТ1302

Муравцов А.Д. Звездинов Виктор.

Москва 2015

Техническое задание

В полой трубе прямоугольного сечения (Рис. 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости равны 1.jpg и 2.jpg соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора 3.jpg равна:

4.jpg, где 5.jpg, 6.jpg, 7.jpg, 8.jpg9.jpg, 10.jpg - частота электромагнитных колебаний; 11.jpg - длина волны, свободно распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами 12.jpg и 13.jpg; 14.jpg - скорость света в этой среде, 15.jpg, 16.jpg

Исходные данные:

вар

17.jpg

В/м

18.jpg

19.jpg

a

см

b

см

20.jpg

21.jpg

ГГц

22.jpg

ГГц

2

100

2,25

1

6

4

0,75

4

2

IMG

24.jpg


Рис. 1

1)Определение комплексных амплитуд поперечных составляющих вектора 25.jpg, а затем из уравнений Максвелла определим комплексные амплитуды составляющих вектора 26.jpg, используя соотношение

27.jpg,

Найдем комплексные амплитуды составляющих вектора 28.jpg, воспользовавшись вышеприведённым соотношением:

29.jpg

Подставляя значение из (2) в (1) найдём комплексную форму вектора 25.jpg:

31.jpg

Запишем проекции комплексной амплитуды вектора 3.jpgна оси координат:

33.jpg

34.jpg

35.jpg

Воспользуемся первым уравнением Максвелла в комплексной форме для определения комплексной амплитуды вектора 26.jpg:

37.jpg , где 38.jpg - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, 39.jpg, 40.jpg – частота электромагнитных колебаний, тогда отсюда 41.jpg

42.jpg

43.jpg

44.jpg

Найдем 45.jpg:

46.jpg

Тогда составляющие комплексной амплитуды вектора 47.jpg равны соответственно:

48.jpg (7)

49.jpg (8)

50.jpg

(9)

Найдем выражения для частных производных составляющих комплексной амплитуды вектора 51.jpg по соответствующим координатам:

52.jpg

53.jpg

54.jpg

55.jpg

56.jpg

57.jpg

Подставляя найденные значения частных производных в (7), (8) и (9), получим итоговые выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора 58.jpg:

59.jpg (10)

60.jpg (11)

61.jpg (12)

2)Определение диапазона частот, в котором 62.jpg – действительное число, т.е. рассматриваемое поле – бегущая волна.

По условию задачи 6.jpg. Значит, 62.jpg будет действительным в случае, если

65.jpg, т.е. при 66.jpg

67.jpg

Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:

68.jpg, где 69.jpg ГГц, где С = 70.jpg ,

71.jpg

72.jpg

Таким образом, если частота волны не принадлежит рассчитанному диапазону частот, то 62.jpg является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: 74.jpg, при этом 75.jpg, 76.jpg

3) Определение мгновенных значений всех составляющих векторов77.jpg и 78.jpg для двух случаев:

а) когда 9.jpg принадлежит найденному в п. 2 диапазону частот

б) когда 9.jpg не принадлежит этому диапазону.

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо домножить их комплексные амплитуды на выражение 81.jpg и, выделить действительную часть, то есть:

82.jpg; 83.jpg

В первом случае выражения для комплексных амплитуд составляющих остаются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в п. 2.

При 84.jpgвыражения для комплексны амплитуд составляющих магнитного и электрического полей имеют вид:

85.jpg

86.jpg

87.jpg

88.jpg

89.jpg

90.jpg

(18)

При 91.jpg выражения для комплексны амплитуд составляющих магнитного и электрического полей имеют вид:

92.jpg

93.jpg

94.jpg

95.jpg

96.jpg

97.jpg (24)

4)Построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля на частотах 21.jpg и 22.jpg по данным приведенным, в таблице технического задания

Вычислим постоянные множители в математическом пакете MathCAD 14, а затем подставим соответствующие значения постоянных величин в выражения с (13) по (24):

100.jpg

101.jpg

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 1:

z=z0; y=0,5b; 102.jpg; 103.jpg

104.jpg

105.jpg

106.jpg

107.jpg

108.jpg

109.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 2, Рис. 3.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 2:

z=z0; y=0,5b; 102.jpg; 111.jpg

112.jpg

113.jpg

114.jpg

115.jpg

116.jpg

117.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 4, Рис. 5.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 3:

z=z0; x=0,75a; 118.jpg; 103.jpg

120.jpg

121.jpg

106.jpg

123.jpg

124.jpg

125.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 6, Рис. 7.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 4:

z=z0; x=0,75a; 118.jpg; 127.jpg

128.jpg

129.jpg

114.jpg

131.jpg

132.jpg

133.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис.8, Рис. 9.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 5:

x=0,25a; y=0,25b; 134.jpg; 135.jpg

136.jpg

137.jpg

138.jpg

139.jpg

140.jpg

141.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 10, Рис. 11.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей для Случая 6:

x=0,25a; y=0,25b; 134.jpg; 111.jpg

144.jpg

145.jpg

114.jpg

147.jpg

148.jpg

149.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты показаны на Рис. 12, Рис. 13.

В выражениях для случаев 1, 3, 5 150.jpg м, 151.jpg рад/с, z0=0.151 м, 152.jpgа для случаев. 2, 4, 6 153.jpg м, 154.jpg рад/с, z0=0.178 м и 155.jpg Нп/м.

156.jpg---

157.jpg 157.jpg
159.jpg
160.jpg
161.jpg
162.jpg

Рис. 2 Рис. 3

163.jpg


Рис. 4 Рис. 5

164.jpg


Рис. 6 Рис. 7

165.jpg


Рис. 8 Рис. 9

166.jpg


Рис. 10 Рис. 11

167.jpg


Рис. 12 Рис. 13

5)Проверка выполнения граничных условий для касательных составляющих вектора 51.jpg и нормальных составляющих вектора 28.jpg на боковой (х=а) стенке трубы.

Как известно на границе раздела двух сред – идеального металла и воздуха 170.jpg и171.jpg. Проверка граничных условий заключается в проверке истинности этих утверждений, т.е. равенства нулю касательной вектора 51.jpg и нормальной вектора 28.jpg проекций (составляющих).

На боковой стенке (х=а) рассмотрению подлежат (17) и (13) составляющие:

Подставим в эти выражения х=а, получим:

174.jpg,

При этом другие множители от координаты х не зависят. Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.

6)Определить комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы.

В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а комплексную амплитуду поверхностного тока можно найти по формуле:

175.jpg

, где 176.jpg - нормаль (25)

Комплексную амплитуду плотности зарядов можно найти по формуле:

177.jpg где 38.jpg - абсолютная диэлектрическая проницаемость (26)

Найдем комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы:

1) Для нижней стенки трубы 179.jpg нормаль совпадает с вектором 180.jpg: 181.jpg.

Касательными к этой стенке составляющими вектора 182.jpg являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:

183.jpg

Подставим это выражение в формулу (25):

184.jpg

Нормальной к этой стенке составляющей вектора 185.jpgбудет составляющая 186.jpg. Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

187.jpg

2) Для верхней стенки трубы 188.jpg нормаль противоположна вектору 180.jpg: 190.jpg.

Касательными к этой стенке составляющими вектора 182.jpgявляются составляющие вдоль осей x и z, то есть:

183.jpg

Подставим это выражение в формулу (25):

193.jpg

Нормальной к этой стенке составляющей вектора 185.jpgбудет составляющая 186.jpg. Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

196.jpg

3) Для правой стенки трубы 197.jpg нормаль совпадает с вектором 198.jpg: 199.jpg.

Касательными к этой стенке составляющими вектора 182.jpg являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

201.jpg

Подставим это выражение в формулу (25):

202.jpg

Нормальной к этой стенке составляющей вектора 185.jpgбудет составляющая 204.jpg. Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

205.jpg

4) Для левой стенки трубы 206.jpg нормаль противоположна вектору 198.jpg: 208.jpg.

Касательными к этой стенке составляющими вектора 182.jpg, как и в третьем случае, являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

201.jpg

Подставим это выражение в формулу (25):

211.jpg

Нормальной к этой стенке составляющей вектора 185.jpgбудет составляющая 213.jpg. Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

214.jpg

7)Записать выражения для комплексного вектора Пойтинга. Определение среднее за период значение плотности потока энергии и амплитуду плотности реактивного потока энергии.

215.jpgГде 216.jpg – это комплексная амплитуда напряженности электрического поля, а 217.jpg – это комплексно – сопряженная амплитуда напряженности магнитного поля.

Рассмотрим режим бегущей волны 218.jpg:

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора 219.jpg:

220.jpg

221.jpg

222.jpg

Найдём выражения для каждой из составляющих вектора Пойтинга, исходя из (27):

223.jpg

224.jpg

225.jpg

Тогда выражение для вектора Пойтинга примет вид:

226.jpg

Cоставляющие по оси х и по оси у чисто мнимые, а составляющая по оси z – действительная, значит вдоль оси z происходит перенос энергии. Следовательно:

227.jpg

228.jpg

Рассмотрим режим стоячей волны 229.jpg:

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора 219.jpg:

231.jpg

232.jpg

233.jpg

Найдём выражения для каждой из составляющих вектора Пойтинга, исходя из (27):

234.jpg

235.jpg

236.jpg

В этом случае вектор Пойтинга чисто мнимый и переноса энергии не происходит.

237.jpg

238.jpg

8)Вычисление среднего за период поток энергии через поперечное сечение трубы.

Проинтегрируем выражения для плотности активного потока энергии по площади поперечного сечения волновода:

Для этого проинтегрируем по площади поперечного сечения среднюю за период плотность потока энергии 239.jpg, определяемую выражением (27):

240.jpg

241.jpgВт

9)Определение фазовой скорости Vф и скорости распространения энергии Vэ рассматриваемой волны. Расчет и построение графиков зависимостей Vф и Vэ от частоты.

За время 242.jpg волна распространяется на расстояние 243.jpg, при этом фазы волны в моменты времени 244.jpg и 245.jpg в плоскостях 246.jpg и 247.jpg соответственно совпадают.

Рассчитаем фазовую скорость волны

248.jpg

Где 249.jpg

250.jpg

здесь 251.jpg – фаза в момент времени t=0.

Рассчитаем фазовую скорость волны с учетом 252.jpg м.

253.jpg, м/с

Для расчета скорость распространения энергии Vэ воспользуемся соотношением:

Vэ254.jpg Vэ255.jpg, м/с.

Запишем выражение, характеризующее зависимость фазовой скорости от длины волны в волноводе.

256.jpg

Vэ257.jpg

Указанные формулы были запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики зависимостей Vф и Vэ от частоты. Результаты показаны на Рис. 18.

10)Определение коэффициента затухания для заданной волны, считая, что стенки трубы выполнены из реального металла имеющего 258.jpg Сим/м, на основе граничных условий Леонтовича-Щукина

Формула для расчета коэффициента затухания на основе граничных условий Леонтовича-Щукина имеет вид:

259.jpg,

где 260.jpg261.jpg - это активная часть поверхностного сопротивления волновода

262.jpg

Раскроем частотную зависимость коэффициента затухания:263.jpg

Выражение для Рср подставлено из параграфа 8 для случая, когда частота принадлежит найденному в параграфе 2 диапазону.

Сделав замену 264.jpg и подставив 265.jpg в полученное выражение для коэффициента затухания, получим: 266.jpg, Нп/м

11)Расчет и построение графика зависимости коэффициента затухания волны в волноводе от частоты.

267.jpg, Нп/м

Указанная формула была запрограммированы в математическом пакете MathCAD 14, где был график зависимости 268.jpg. Результаты показаны на Рис. 19

График представлен в логарифмическом масштабе для того, чтобы показать наглядно различающиеся величины.

12)Определение типа волны, распространяющейся в волноводе. Изображение структуры силовых линий электрического и магнитного полей этой волны. Изображение структуры силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода.

Данная волна является волной типа 269.jpg, так как только вектор 219.jpg имеет продольную составляющую и вдоль каждой стенки волновода укладывается одна полуволна по осям Х и У соответственно.

Структура силовых линий электрического и магнитного полей этой волны (Рис. 20) и плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода (Рис 21).

271.jpg

Рис. 18

272.jpg

Рис. 19

right
front
top

Рис. 20

276.jpg

277.jpg

Рис. 21

Вывод:

Результатом работы стало исследование волны в прямоугольном волноводе. По заданным соотношениям были определены все составляющие обоих векторов электромагнитного поля. Исследованы зависимости амплитуд составляющих поля от координат в режиме бегущей волны и в режиме стоячей волны. На графиках показано экспоненциальное затухание волны с ростом координаты z в режиме стоячей волны и неизменность амплитуды ее колебаний при изменении координаты z в режиме бегущей волны (без учета потерь). В ходе исследования установлено, что рассматриваемая волна относится к типу Н11. Проверено выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора 278.jpg и нормальной составляющей вектора 279.jpg на стенках волновода. Получены выражения для поверхностных токов и зарядов на стенках волновода. Найден вектор Пойтинга в комплексной форме и в форме мгновенного значения. Определено среднее за период значение плотности потока энергии, проходящей через поперечное сечение волновода. Определены и рассчитаны фазовая скорость и скорость распространения энергии волны в волноводе, зависимости фазовой скорости и скорости распространения энергии построены графически. Рассчитан коэффициент затухания волны при использовании волновода из реального металла с заданной проводимостью, зависимость коэффициента затухания от частоты построена графически. Структура силовых линий электрического и магнитного полей, а также структура силовых линий плотности поверхностного тока проводимости изображены на соответствующих рисунках.

Математические расчёты совпадают с построенными графическими зависимостями

Использованная литература:

[1]-Техническая электродинамика / Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 2002.

[2]-Электромагнитные волны/ Вайнштейн. Л. А. – М.: Радио и связь, 1988.

[3]-Конспект лекций за 2015 год.


Информация о реферате «Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе»
Раздел: Физика
Количество знаков с пробелами: 13094
Количество таблиц: 8
Количество изображений: 22

Похожие материалы

Скачать
5649
0
9

... разделения переменных при решении краевой задачи для двухмерного уравнения Гельмгольца. Наглядным примером реализации преимуществ обобщенного метода Фурье (ОМФ) [1] перед классическим при решении прикладных задач электродинамики является задача полого волновода треугольного сечения (рис.1), оболочка которого принимается за идеально проводящую, а внутренняя среда является однородной. Такая модель ...

Скачать
73391
8
17

... , хотя изучение поведения бегущих волн в замкнутых системах представляет и чисто практический интерес. В настоящей работе проведено экспериментальное исследование поведения бегущих электромагнитных волн в волноводном тракте. Целью настоящей работы являлось исследование частотной зависимости амплитуды бегущей электромагнитной волны в кольцевом волноводном тракте. Для этого необходимо было решить ...

Скачать
206582
2
63

... калькуляции представлены в табл.4.2. Ленточный график работ   5. Безопасность жизнедеятельности и охрана труда Дипломная работа посвящена анализу погрешностей волоконно-оптического гироскопа. В ходе ее выполнения были проведены необходимые расчеты и сделаны выводы, которые могут послужить материалом для ...

Скачать
106060
17
24

... ; 12+φг)+ 2|S11Г0|cos(φ2+2φ12+2φг+ φ11)], (5.6) а условием баланса будет:  (5.7) 6 РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ УСТРОЙСТВА РВК На рисунке 6.1 представлена структурная схема устройства, предназначенного для контроля электрической толщины радиопрозрачных диэлектрических стенок методом свободного пространства на отражение с использованием модулирующего ...

0 комментариев


Наверх