Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Төртінші ретті жай дифференциалдық операторлардың спетральдық қасиеттері

57942
знака
1
таблица
23
изображения

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

Ахымбек М.Е.

ТӨРТІНШІ РЕТТІ ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАРДЫҢ СПЕКТРАЛЬДЫҚ ҚАСИЕТТЕРІ

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

мамандығы 5B060100 – «Математика»

Алматы 2015


Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі

әл – Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті

Іргелі математика кафедрасы

«Қорғауға жіберілді»

Кафедра меңгерушісі

ф.-м.ғ.д., профессор ______________ Б.Е. Кангужин

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: «ТӨРТІНШІ РЕТТІ ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАРДЫҢ СПЕТРАЛЬДЫҚ ҚАСИЕТТЕРІ»

мамандығы 5B060100 – «Математика»

Орындаған М.Е. Ахымбек

Ғылыми жетекші

т.ғ.д.,профессор Ж.А. Токибетов

Норма қадағалаушы А.М. Тлеулесова

Алматы, 2015


РЕФЕРАТ

Бітіру жұмысы 46 бет, 2 бөлім, кіріспе және қорытынды, сонымен бірге 19 пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Бітіру жұмысында күшейтілген емес регуляр шекаралық шарттарға ие жай дифференциалдық операторлардың спектральдық қасиеттері зерттелген. Жәнеде екінші ретті дифференциалдық оператордың ойылған кесіндіде бірінші регуляризацияланған ізі есептелді.

Күшейтілген емес регуляр шекаралық шарттарға ие жай дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен меншікті функцияларының асимптотикасы табылып, алынған меншікті функцияларының жүйесі базис құру, құрмауы тексерілді. Жәнеде екінші ретті дифференциалдық оператордың ойылған кесіндідегі Гельфанд – Левитан формуласы тектес бірінші регуляризацияланған ізі есептелген.

Түйін сөздер: дифференциалдық оператор, спектральдық теория, меншікті мән, меншікті функция, базис, ойылған кесінді, бірінші регуляризацияланған із.

РЕФЕРАТ

Выпускная работа изложена на 46 листах, содержит 2 главы, введение и заключение, использовано 19 литературных источников.

В работе исследованы спектральные свойства простых дифференциальных операторов, порожденные регулярно, но не усиленно регулярными краевыми условиями. Вычислен первый регуляризованный след оператора дифференцирования второго порядка в проколотом отрезке.

Найдены асимптотики собственных значений и собственных функций оператора дифференцирования, порожденного регулярными, но не усиленно регулярными краевыми условиями. Исследовано базисность систем собственных функций. Для оператора дифференцирования второго порядка получена формула первого регуляризованого следа типа Гельфанда – Левитана.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, спектральная теория, собственное значение, собственная функция, базис, проколотый отрезок, первый регуляризованный след.


ABSTRACT

Final work is presented on 46 sheets, contains 2 chapters, maintenance and conclusion , applied 19 references.

We study the spectral properties of fourth – order differential operators with regular but not strongly regular boundary conditions. And calculate the first regularized trace of second - order differential operator in the punctured segment.

We consider some class of non strongly regular boundary value problems for fourth – order differential operators. We obtain asymptotic formulas for eigenvalues and eigenfunctions of these boundary value problems. Then, using these asymptotic formulas, we prove that system of eigenfunctions does not form basis. There are found the formulas of the first regularized trace (of the type of abstract Gel’fand – Levitan formula) of the two – fold differentiation operator in a punctured segment.

Keywords: differential operator, spectral theory, eigenvalue, eigenfunction, basis, punctured segment, the first regularized trace.


МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

5

1.

ҚАРАПАЙЫМ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАР

6

1.1

Негізгі анықтамалар

6

1.2

Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен меншікті функциялары

13

1.3

1.jpg-ның үлкен мәндеріндегі меншікті мәндер мен меншікті функциялардың асимптотикасы

18

2.

ЕКІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРДЫҢ ОЙЫЛҒАН КЕСІНДІДЕГІ БІРІНШІ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯЛАНҒАН ІЗІ

34

2.1

Есептің қойылуы және нәтижелер

34

2.2

Характеристикалық анықтауыш

36

2.3

Негізгі нәтиженің дәлелдеуі

40

ҚОРЫТЫНДЫ

44

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

45


КІРІСПЕ

Жұмыстың бірінші тарауында регуляр шекаралық шарттардың әр түріне жеке тоқталып, төртінші ретті дифференциалдық оператор үшін регуляр, оның ішінде күшейтілген және күшейтілген емес шекаралық шарттарды бөліп алып. Сол әр шарттқа сәйкес дифференциалдық оператордың меншікті функцияларының асимптотикасын алып, олардың базис болу болмауын тексереміз.

Шекаралық шарттар күшейтілген регуляр болған жағдайда оператордың меншікті және қосалқы функциялары 2.jpg кеңістігінде Рисс базисін құратыны белгілі. Бұл айтылғанды ең алғаш В.П. Михайлов көрсетті. Дәл осы нәтиже Кессельман Г.М. жұмыстарында, және Данфорд Н. мен Шварц Т. монографиясында бар. Бұл жұмыстардың барлығында да, дәлелдеу оператор мен оның түйіндес операторының нормаланған меншікті және қосалқы функциялар жүйесінің бесселдік екендігіне әкелінді.

Кессельман Г.М. жұмыстарында шекаралық шарттары регуляр бірақ күшейтілген емес регуляр болатын дифференциалдық оператордың меншікті және қосалқы функциялары базис құрмайтындай мысалдар көрсеткен. Себебі бұл жағдайларда оператор Данфорд Н. мағынасында спектральды болмайды, демек бұл жағдайда оператордың меншікті және қосалқы функциялары Рисс базисін құрмайтыны белгілі. Бұл жайтты, оператордың меншікті мәндері асимптотикалық жақын орналасқандығымен түсіндіруге болады, демек келесідей асимптотикаға ие

3.jpg

4.jpg болғанда. Соның ішінде жақын орналасқан меншікті мәндерге сәйкес меншікті функциялар бір біріне тең емес, бірақта арасындағы бұрыш нөлге ұмтылады. Дәл осындай жағдайларда оператордың меншікті және қосалқы функциялар жүйесі базис құрмайды.

Екінші ретті дифференциалдық операторларға қарағанда төртінші ретті шекаралық шарттары күшейтілген емес регуляр болатын дифференциалдық операторлардың спектральдық теориясы азырақ дамыған. Бұған байланысты тек жекеленген жұмыстар ғана бар.[3,4] Бұл дипломдық жұмыста алдағы уақытта дәл осы шекаралық шарттар күшейтілген емес регуляр болатын төртінші ретті дифференциалдық операторлардың спектральдық қасиеттері зерттеледі.

Ал екінші тарауда екінші ретті дифференциалдық оператордың ойылған кесіндідегі Гельфанд – Левитан формуласы тектес бірінші регуляризацияланған ізі есептелген.


1 ҚАРАПАЙЫМ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАР

1.1 Негізгі анықтамалар

5.jpg элементтерінің 6.jpg жиынтығы сызықтық кеңістік деп аталады, егерде:

1. 6.jpg-да кез-келген 8.jpg элементтерінің келесідей қасиеттер орындалатындай 9.jpg қосындысы анықталса:

i. егер 10.jpg онда 11.jpg

ii. 12.jpg

iii. 13.jpg

iv. 6.jpg-да “нөлдік” элемент 0 табылады және15.jpgкез-келген 16.jpg үшін 17.jpg

2. 6.jpg-да 19.jpg элементін 20.jpg санына келесідей қасиеттер орындалатындай 21.jpg көбейтіндісі анықталса:

i. егер 22.jpg онда 23.jpg

ii. 24.jpg

iii. 25.jpg

iv. 26.jpg (сол жағында – 0 саны, оң жағында – нөлдік элемент);

v. 27.jpg

vi. 28.jpg

Және де 29.jpg элементі 30.jpg арқылы белгіленеді, өйткені iii, vi, iv қасиеттерінен

31.jpg

6.jpg-дағы 5.jpg элементтері осы кеңістіктің векторлары деп аталады.

Егерде 6.jpg кеңістігінде кез-келген нақты санға көбейту амалы анықталса, онда 6.jpg нақты кеңістік деп аталады; ал егерде кез-келген комплекс санға көбейту амалы анықталса, онда 6.jpg комплекс кеңістік деп аталады. 37.jpg түріндегі өрнекті 38.jpg элементтерінің сызықтық комбинациясы деп аталады. Сызықтық комбинация тривиалды деп аталады, егерде 39.jpg сандарының барлығы нөлге тең болса, ал кері жағдай да тривиалды емес деп аталады. 38.jpg векторлары сызықты тәуелді деп аталады, егерде олардың қандай да бір тривиалды емес сызықтық комбинациясы нөлге тең болса, сызықтық тәуелсіз деп аталады, егерде ондай сызықтық комбинация табылмаса.

6.jpg кеңістігін ақырлы өлшемді соның ішінде 42.jpg- өлшемді дейміз, егерде сол кеңістікте 42.jpg және 42.jpg-нан көп емес сызықтық тәуелсіз векторлар табылса, және сәйкесінше сол 42.jpg векторды 6.jpg кеңістігінің базисы дейміз. Ал егерде 6.jpg-да шексіз көп сызықтық тәуелсіз векторлар табылса, онда 6.jpg ақырсыз өлшемді кеңістік деп аталады. 49.jpg-ты 6.jpg-дың ішкеңістігі дейміз, егерде 49.jpg-тың элементтерінің кез-келген сызықтық комбинациясы осы 49.jpg-тың өзінде жатса.

Айталық, 53.jpg жоғарыда берілген 6.jpg кеңістігінің қандай да бір ішкеңістігі болсын. 53.jpg-ның әрбір 56.jpg элементіне 6.jpg-дың қандай да бір 58.jpg элементін сәйкес қоятын 59.jpg функциясын 6.jpg кеңістігінде анықталған, анықталу облысы 53.jpg болатын оператор деп атаймыз. Көп жағдайда 62.jpg-тың орнына 63.jpg деп те жаза беруге болады.

53.jpg облысы 59.jpg операторының анықталу облысы екенін көрсету үшін 53.jpg-ның орнына 67.jpg деп те жаза беруге болады. Барлық 68.jpg векторларының жиынын 59.jpg операторының мәндер облысы деп атап 70.jpg немесе 71.jpg деп белгілейді.

59.jpg операторын сызықтық деп атаймыз, егерде 67.jpg ішкеңістік және кез-келген 74.jpg векторлары мен кез-келген20.jpg саны үшін

76.jpg

шарттары орындалса.

6.jpg кеңістігінде 59.jpg және 79.jpg операторлары сәйкес келеді деп атаймыз, сонда және тек сонда, егерде олардың анықталу облыстары 53.jpg тең болса және

81.jpg

кез-келген 82.jpg үшін орындалса.

59.jpg операторы 79.jpg операторының кеңейуі деп аталып және 85.jpg немесе 86.jpg деп жазылады, егерде 87.jpg және 88.jpg-да екі оператор сәйкес келсе. Және бұл жағдай да 79.jpg операторы 59.jpg операторының тарылуы деп аталады.

Алдағы уақытта біз тек сызықтық операторлар қарастыратын болғандықтан сызықтық оператор терминының орнына жәй ғана оператор деп айта береміз.

Келесідей өрнекті

91.jpg (1.1.1)

сызықтық дифференциалдық өрнек деп атаймыз. 92.jpg функцияларын осы сызықтық дифференциалдық өрнектің коэффициенттері, ал 42.jpg санын сызықтық дифференциалдық өрнектің реті деп атаймыз. Бұл жұмыста 94.jpg функциялары тағайындалған ақырлы 95.jpg интервалында үзіліссіз деп санаймыз, ал кейбір жағдайларда қосымша шарттар қойылады. Яғни, байқағанымыздай кез-келген 96.jpg функциясы үшін 97.jpg анықталған және ол 98.jpg кесіндісінде үзіліссіз функция болады.

99.jpg функциясын және оның 100.jpg ретке дейінгі туындыларының 101.jpg және 102.jpg нүктелердегі мәндерін сәйкесінше келесідей белгілейік

103.jpg (1.1.2)

Енді 104.jpg арқылы (1.2)-дегі айнымалылырға қатысты құрылған сызықтық форманы белгілейік, яғни 104.jpg келесідей түрде болады

106.jpg (1.1.3)

Егер де осындай түрдегі бірнеше форма берілсе 107.jpg онда

108.jpg (1.1.4)

теңдіктерін шекаралық шарттар деп атайды.

53.jpg арқылы (1.1.4) шекаралық шарттарын қанағаттандыратын 110.jpg функцияларының жиынтығын белгілейік. 53.jpg жиыны 112.jpg-ның сызықтық ішкеңістігі екені айқын, және де ол 112.jpg-ге тең болады сонда және тек сонда, егерде (1.4) шекаралық шарттар мүлде жоқ болса.

Айталық, қандай да бір 97.jpg дифференциалдық өрнегі мен (1.1.4) шарттар арқылы анықталған қандай да бір көпбейне берілсін. Әрбір 115.jpg функциясына 116.jpg функциясын сәйкес қояйық. Бұл сәйкестік анықталу облысы 53.jpg-ға тең сызықтық оператор болады. Ол операторды 118.jpg арқылы белгілейік, яғни, егерде 115.jpg және де 116.jpg болса, онда 118.jpg операторының анықталуы бойынша

122.jpg

екені белгілі. Демек 118.jpg операторы 97.jpg дифференциалдық өрнегі мен (1.1.4)-ші шекаралық шарттарынан туындаған дифференциалдық операторы деп аталады.

Яғни, байқағанымыздай бір ғана дифференциалдық өрнек, шекаралық шарттарды әр түрлі таңдау арқылы әр түрлі дифференциалдық операторларды туындатуы мүмкін. Егерде, дербес жағдай да, (1.1.4) шекаралық шарттар жоқ болатын болса, онда берілген операторымыздың анықталу облысы 125.jpg болады және де біз оны 126.jpg арқылы белгілейміз. Демек, бұл оператор тура осы дифференциалдық өрнектен туындаған басқа операторлардың барлығының кеңейтілуі болатыны айқын.

127.jpg формаларының кейбіреулері қалғандарының сызықтық комбинациясы да болуы мүмкін, яғни ондай жағдайда сызықтық комбинация болатын форма қалғандарының салдары болып қалғандықтан, ол форманы қарастырмай-ақ алып тастаса болады. Сол себепті, 127.jpg формаларын басын бастап сызықтық тәуелсіз формалар деп қарастырған жөн, яғни бұл формалардың коэффициенттерінен құрылған матрицаның рангысын 129.jpg-ге тең деп алса болады. Егер 130.jpg болса, онда (1.1.4) шекаралық шарттар тек келесідей түрде ғана болады, ал бұл шарттардан туындаған операторды қысқаша 131.jpg деп белгілейміз.

Біртекті шекаралық есеп деп келесідей түрдегі

132.jpg (1.1.5)

133.jpg (1.1.6)

шарттарды қанағаттандыратын 134.jpg функциясын табу есебін айтамыз. Айталық, 118.jpg операторы 97.jpg дифференциалдық өрнегі мен (1.1.6)-шы шекаралық шарттардан туындаған оператор болсын. Демек, біртекті шекаралық есеп, ол анықталу облысы 53.jpg-ға тең, сол анықталу облысында 118.jpg операторы 0-ге айналатын 139.jpg функцияларын табу болып табылады. Кез-келген біртекті шекаралық есептің нөлдік шешімі бар екені белгілі, оны тривиалды шешім деп атаймыз. Демек біздің мақсат тривиалды емес шешімнің бар жоқтығын анықтау, яғни 140.jpg болатын шешім.

Енді қандай шарттар орындалғанда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар болатынын анықтайық. Айталық, 141.jpg функциялары 142.jpg теңдеуінің сызықтық тәуелсіз шешімдері болсын. Сызықтық дифференциалдық операторлар теориясынан 142.jpg теңдеуінің кез-келген шешімі мына түрде екені белгілі

144.jpg

бұл жердегі 145.jpg-тұрақтылар. Жоғарыдағы шешімді (1.1.6) шарттарға қойсақ келесідей біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз:

146.jpg (1.1.7)

147.jpg арқылы келесі матрицаның рангысын белгілейік

148.jpg (1.1.8)

Демек, (1.1.7)-ші теңдеу 145.jpg тұрақтыларына қатысты тәуелсіз 150.jpg шешімге ие, яғни, шекаралық есептіңде 150.jpg тәуелсіз шешімі болады. Сол себепті:

1. Егер 152.jpg матрицасының рангысы 153.jpg тең болса, онда біртекті шекаралық есептің дәл 150.jpg тәуелсіз шешімі болады.

2. а) Біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар болады, сонда және тек сонда, егер 152.jpg матрицасының рангы 153.jpg дифференциалдық оператордың реті 157.jpg-нан кіші болса.

ә) Егер 158.jpg болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды емес шешімі бар болады.

б) Егер 159.jpg болса, онда біртекті шекаралық есептің тривиалды шешімі бар болады, сонда және тек сонда, егер 152.jpg матрицасының анықтауышы нөлге тең болса.

Айта кететіні, 152.jpg матрицасының рангысы фундаметалдық шешімдер жүйесін таңдаудан тәуелсіз. Және де сол рангты шекаралық есептің рангысы деп атайды.

Айталық, келесі дифференциалдық өрнектің

162.jpg

163.jpg коэффициенттері 98.jpg аралығында 165.jpg ретке дейін үзіліссіз дифференциалдансын (165.jpg ретімен қоса). Және 99.jpg және 168.jpg функциялары 169.jpg кеңістігінен алынған кез-келген функциялар болсын. Келесі өрнекті 170.jpg рет бөліктеп интегралдау арқылы:

171.jpg

172.jpg (1.1.9)

Осы өрнекте енді 173.jpg қойып, шыққан теңдіктердің барлығын қоссақ, келесідей формулаға келеміз

174.jpg (1.1.10)

бұл жердегі,

175.jpg (1.1.11)

және де 176.jpg келесі айнымалылыларға тәуелді бисызықтық форма

177.jpg

178.jpg

(1.1.11) түрде анықталған дифференциалдық өрнек 179.jpg дифференциалдық өрнегіне түйіндес деп аталады. Ал (1.1.10) формула Лагранж формуласы деп аталады. Түйіндес өрнекке Лагранж формуласын қайтадан қолдансақ келесідей теңдіктің дұрыс екеніне көз жеткізу оңай

180.jpg

Енді түйіндес шекаралық шарттар мен түйіндес оператор ұғымдарын еңгізейік. Айталық, 181.jpg формалары 182.jpg айнымалыларынан тәуелді сызықтық тәуелсіз формалар болсын. 183.jpgжағдайында қандайда бір 184.jpg формаларымен толықтырайық және жаңадан сызықтық тәуелсіз 185.jpg формалары пайда болсын. Бұл формалардың сызықтық тәуелсіздігінен 182.jpg айнымалыларын 185.jpg формаларының сызықтық комбинациялары ретінде өрнектеуге болады. Сол табылған теңдіктерді 176.jpg бисызықтық формасына қойғанда, 176.jpg формамыз 185.jpg формаларына тәуелді сызықтық біртекті форма болады. 185.jpg айнымалыларының алдындағы коэффициенттері 192.jpg айнымалыларының сызықтық комбинациялары. Оларды

193.jpg

Сонда Лагранж формуласын келесідей түрде жазса болады

194.jpg (1.1.12)

195.jpg формалары сызықтық тәуелсіз. Сонда

196.jpg (1.1.13)

шекаралық шарттары

197.jpg (1.1.14)

шекаралық шарттарына түйіндес шекаралық шарт деп аталады. Егер шекаралық шарттар өзінің түйіндес шекаралық шарттарына эквивалент болса, онда шекаралық шарт өз-өзіне түйіндес деп аталады.

198.jpg дифференциалдық өрнегі мен (1.1.13) шекаралық шарттардан туындаған оператор 199.jpg арқылы белгіленіп, бастапқы 118.jpg операторына түйіндес деп аталады. 118.jpg және 199.jpg операторлары үшін келесі теңдік орынды

203.jpg

Егерде мынадай белгілеу еңгізсек

204.jpg

онда жоғарғы теңдігіміз мына түрге көшеді

205.jpg

118.jpg өз-өзіне түйіндес деп аталады, егерде 207.jpg болса.

Егер 199.jpg операторы 118.jpg операторының түйіндесі болса, онда

210.jpg (1.1.15)

біртекті шекаралық есебі

211.jpg (1.1.16)

біртекті шекаралық есебіне түйіндес деп аталады.

1.2 Дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен меншікті функциялары

212.jpg саны 118.jpg операторының меншікті мәні деп аталады, егерде 118.jpg операторының 53.jpg анықталу облысында 140.jpg функциясы табылып және келесі теңдік орындаса

217.jpg (1.2.1)

Бұл жердегі 139.jpg функциясы 118.jpg операторының 212.jpg меншікті мәніне сәйкес меншікті функциясы деп аталады.

Айталық, 97.jpg дифференциалдық өрнегі мен

222.jpg (1.2.2)

шекаралық шарттары 118.jpg операторын туындатсын. 139.jpg функциясы 118.jpg операторының анықталу облысында жатуы керек болғандықтан, онда ол (1.2.2) шарттарын қанағаттандыруы керек. Оған қоса, 226.jpg болғандықтан, (1.2.1)-ден

227.jpg (1.2.3)

Яғни, 118.jpg операторының меншікті мәні дегеніміз, біртекті шекаралық есеп

229.jpg (1.2.4)

тривиалды емес шешімге ие болған кездегі 20.jpg санын айтамыз, ал сол тривиалды емес шешімді 20.jpg меншікті мәніне сәйкес меншікті функция дейміз.

Бір 20.jpg меншікті мәніне сәйкес бірнеше меншікті функциялардың сызықтық комбинациясыда сол 20.jpg меншікті мәніне сәйкес меншікті функция болады. Шынында да,

234.jpg және 235.jpg

яғни, кез-келген 236.jpgтұрақтылары үшін келесі орынды

237.jpg

Берілген 20.jpg үшін (1.2.3) біртекті теңдеу 42.jpg-нен көп емес сызықтық тәуелсіз шешімге ие болатындығынан, бір меншікті мәнге сәйкес барлық меншікті функциялар жиыны өлшемі 240.jpg ақырлы өлшемді кеңістік құратыны белгілі. Осы пайда болған кеңістіктің өлшемі, берілген 20.jpg кезіндегі (1.2.4) шекаралық есептің сызықтық тәуелсіз шешімдерінің санын береді, және де бұл сан, меншікті мәннің еселігі деп аталады.

Меншікті мәндерді анықтайтын шарттарды табайық. Айталық,

242.jpg (1.2.5)

(1.2.3) дифференциалдық теңдеуінің іргелі шешімдер жүйесі болсын, олар келесідей бастапқы шарттарды қанағаттандырсын:

243.jpg (1.2.6)

бұл жердегі244.jpg Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімі туралы жалпы теоремалардан, 245.jpg аралығындағы кез-келген бекітілген 56.jpg үшін (1.2.5) функциялар бүтін аналитикалық функциялар болатын белгілі. Жоғарыда айтқанымыздай, (1.2.4) шекаралық есептің тривиалдық емес шешімі болады, сонда және тек сонда, егерде

247.jpg

матрицасының рангы 153.jpg42.jpg-нен кіші болса. Егер 250.jpg болса, онда 251.jpg, яғни бұл жағдайда (1.2.4) шекаралық есеп кез-келген 20.jpg үшін тривиалды емес шешімге ие болады. Демек, 250.jpg жағдайында 20.jpg-ның кез-келген мәні меншікті мән болады.

Егер 255.jpg болса, онда онда 256.jpg матрицасының рангы 42.jpg-нан кіші болады, сонда және тек сонда, егер 256.jpg матрицасының 42.jpg-ші ретті анықтауыштарының барлығы нөлге тең болса. Бірақ, ол анықтауыштар 20.jpg-дан тәуелді аналитикалық функциялар болғандықтан тек келесідей ғана жағдайлар болуы мүмкін:

1. 256.jpg матрицасының 42.jpg-ші ретті анықтауыштарының барлығы нөлге тепе тең. Бұл жағдай да 20.jpg-ның кез-келген мәні меншікті болып қала береді.

2. 256.jpg матрицасының қандай да бір 42.jpg-ші ретті анықтауышы нөлге тепе тең емес. Бұл жағдай да тек осы анықтауыштың, қалған 42.jpg-ші ретті анықтауыштарды да нөлге айналдыратын, түбірлері ғана меншікті мән болады.

Бірақ, нөлге тепе тең емес бүтін функцияның саналымдыдан артық емес түбірлері ғана болады (мүлде болмауыда мүмкін), және олардың ақырлы шектік нүктесі жоқ болады. Сәйкесінше, 2-ші жағдайда, 118.jpg операторы, ақырлы шектік нүктесі жоқ болатын, саналымдыдан аспайтын меншікті мәнге ие бола алады (олар мүлде жоқ болуыда мүмкін). Бұл екі жағдайды біріктіріп келесіні алса болады. Кез-келген дифференциалдық 118.jpg операторы үшін тек келесі екі жағдай ғана болуы мүмкін:

1. Кез-келген 20.jpg саны 118.jpg операторының меншікті мәні болады.

2. 118.jpg операторының меншікті мәндер жиыны саналымдыдан аспайды (жеке жағдай да, бос жиын болуыда мүмкін) және ақырлы шектік нүктесі жоқ.

Көптеген қызығушылықты 272.jpg жағдай тудырады. Алдағы уақытта, егерде бұл жайлы қосымша айтылмайтын болса, онда біз 272.jpg жағдайын қарастырамыз.

Айталық,

274.jpg (1.2.7)

Алдыңғы айтқандарымыз бойынша 275.jpg-функциясы 212.jpg-дан тәуелді бүтін аналитикалық функция. Бұл функция 277.jpg операторының және де 278.jpg шекаралық есебінің мінездемелік анықтауышы деп аталады. Және де келесі тұжырым дұрыс: 277.jpg операторының меншікті мәндері дегеніміз ол 275.jpg функциясының түбірлері болып табылады. Егер 275.jpg функциясы нөлге тепе теі болса, онда кез-келген 212.jpg саны 277.jpg операторының меншікті мәні болады. Ал егерде 275.jpg функциясы нөлге тепе тең болмаса, онда 277.jpg операторы саналымдыдан аспайтын меншікті мәндер жиынына ие болады, және олардың ақырлы шектік нүктелері жоқ болады. Дербес жағдайда, 275.jpg функциясының түбірлері жоқ болса, онда 277.jpg операторының меншікті мәні жоқ болады.

Егерде 288.jpg275.jpg функциясының еселігі 290.jpg-ға тең түбірі болса, онда 288.jpg277.jpg операторының еселігі 290.jpg-дан аспайтын меншікті мәні болады. Егерде 288.jpg275.jpg функциясының жай түбірі болатын болса, онда 288.jpg меншікті мәнінің еселігі бірге тең.

Меншікті мән табуға байланысты келесідей мысал қарастырайық:

1. 297.jpg

Бұл дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

298.jpg

түрінде болады. Бұл шешімді шекаралық шарттарға қойып, меншікті мән

299.jpg

болатынына оңай көз жеткізсе болады. 300.jpg жағдайында 301.jpg меншікті мәніне сызықтық тәуелсіз екі меншікті функция сәйкес келеді

302.jpg

сәйкесінше, 303.jpg жаңдайында 301.jpg меншікті мәні екі еселі. Ал 305.jpg жағдайында 306.jpg меншікті мәніне тұрақтыға көбейту дәлдігімен тек бір ғана меншікті функция сәйкес келеді 307.jpg, демек бұл меншікті мән жай болады.

Енді, оператор мен оған түйіндес оператордың меншікті мәндері мен меншікті функциялары арасындағы қатынастарды көрсетейік.

Теорема 1.2.1. Егерде 20.jpg саны 118.jpg операторының еселігі 310.jpg-ға тең меншікті мәні болса, онда 311.jpg саны 199.jpg операторының дәл сол еселіктегі меншікті мәні болады.

Дәлелдеуі. Айталық, 118.jpg операторы 179.jpg дифференциалдық өрнегі мен келесі шекаралық шарттардын туындасын

315.jpg

ал 199.jpg операторы 198.jpg дифференциалдық өрнегі мен

318.jpg

шекаралық шарттарынан туындасын.

Және де

319.jpg

болсын. Егер де 20.jpg саны 118.jpg операторының еселігі 310.jpg-ға тең меншікті мәні болса, онда

323.jpg

шекаралық есебінің 310.jpg сызықтық тәуелсіз шешімі бар болады, бұдан

325.jpg

шекаралық есебінің де 310.jpg сызықтық тәуелсіз шешімі бар екені белгілі[NAIMARK]. Ал бұдан 311.jpg саны 328.jpg операторының еселігі 310.jpg-ға тең меншікті мәні екені белгілі. Теорема дәлелденді.

Екі 330.jpg және 331.jpg функцияларын ортогонал деп аталады, егерде 332.jpg болса.

Теорема 1.2.2. 118.jpg операторы мен 328.jpg операторының сәйкесінше 20.jpg мен 336.jpg меншікті мәндеріне сәйкес меншікті функциялары ортогонал болады, егерде 337.jpg болса.

Дәлелдеуі. Айталық, 99.jpg функциясы 118.jpg операторының 20.jpg меншікті мәніне сәйкес меншікті функциясы, ал 168.jpg функциясы 328.jpg операторының 336.jpg меншікті мәніне сәйкес меншікті функциясы болсын. Демек,

344.jpg және 345.jpg

Бұдан

346.jpg

Бірақ бізде операторлар түйіндес болғандықтан, 347.jpg екені белгілі, демек 348.jpg ал бізде 337.jpg болғандықтан 332.jpg екені шығады.

Теорема дәлелденді.

Енді өз – өзіне түйіндес оператордың меншікті мәні мен меншікті функциясы жайлы айтатын болсақ.

Теорема 1.2.3. Өз – өзіне түйіндес оператордың барлық меншікті мәндері нақты болады.

Дәлелдеуі. Егерде 118.jpg өз – өзіне түйіндес оператор болатын болса, онда 352.jpg екені айқын, ал жеке жағдайда 353.jpg екені де дұрыс. Ал басқа жағынан 354.jpg, сәйкесінше 355.jpg нақты сан екені шығады.

Енді, айталық, 20.jpg саны 118.jpg операторының меншікті мәні болсын, ал 99.jpg сол меншікті мәнге сәйкес меншікті функция болсын. Онда 344.jpg теңдігінен 360.jpg екені шығады. Ал 361.jpg және 355.jpg нақты болғандықтан

363.jpg

нақты сан екені шығады. Теорема дәлелденді.

Жоғарыдағы 1.2.2 және 1.2.3 теоремалардан келесі салдарды алса болады.

Салдар. ­Өз – өзіне түйіндес оператордың әр түрлі меншікті мәндерге сәйкес келетін меншікті функциялары ортогонал болады.

1.3 364.jpg-ның үлкен мәндеріндегі меншікті мәндер мен меншікті функциялардың асимптотикасы.

365.jpg-ның үлкен мәндерінде дифференциалдық оператордың меншікті мәндері мен меншікті функцияларының формулаларын жуықтап беруге болады. Бұл формулалар өздігінен қызығушылық тудыратынынан басқа, дифференциалдық операторлар теориясында кең қолданысқа ие. Жоғарыда берілген операторлар үшін бұл формулалар ең қарапайым жағдай 366.jpg

операторы жағдайымен бірдей екен.

Асипмтотикалық формулаларды алмас бұрын, 367.jpg теңдеуінің шешімінің 365.jpg- ның үлкен кездеріндегі түрін біліп алғанымыз жөн. Сосын алынған шешімді 369.jpg теңдеуіне қойып, меншікті мән табылатын өрнек аламыз.

Айталық, 370.jpg болсын онда, 367.jpg теңдеуіміз келесі түрде жазылады

372.jpg (1.3.1)

немесе ашып жазатын болсақ

373.jpg (1.3.2)

Жалпылықты бұзбай, 374.jpg деп санасақ болады, өйткені егерде 375.jpg болатын болса,

376.jpg

алмастыруын жасау арқылы, дәл сол 377.jpg мәні сақталатын, келесі түрдегі теңдеуге келе аламыз

378.jpg

Және де 379.jpg функцияларыда 98.jpg аралығында үзіліссіз функциялар болып қала береді. Келесі 98.jpg аралығының орнына 382.jpg аралығын қарастыра берсе болады, себебі 383.jpg өрнегі арқылы екі аралық арасында бірге бір сәйкестік қойсақ болады.

Барлық 377.jpg-комплекс кеңістігін төмендегі теңсіздікпен анықталатын 385.jpg секторге бөлейік және де оларды 386.jpg арқылы белгілейік:

387.jpg

Және де 388.jpg арқылы 389.jpg-дің 390.jpg-ші ретті түбірлерін белгілейік. Келесідей дәлелдеусіз тұжырымды берейік: Кез – келген 391.jpg секторы және кез – келген 392.jpg нүктелері үшін 388.jpg сандарының төмендегі теңсіздік орындалатындай орналасуы табылады:

394.jpg

Енді нормаланған шекаралық шарттарды қарастырайық. Жоғарыдағы дифференциалдық оператор үшін анықталған келесідей сызықтық формалар берілсін 395.jpg396.jpg санын 397.jpg формасының реті деп атайық, егерде бұл формада 398.jpg немесе 399.jpg бірі бар болып, ал 400.jpg нөмірлері үшін 401.jpgнемесе 402.jpg элементтерінің біреуіде жатпаса. Реті 403.jpg-ге тең 404.jpg формасын қарастырайқ, егерде ондай форма бар болса. Керек жағдай да, біз форманы басқа формалардың сызықтық комбинацияларын қою арқылы реті 403.jpg-ге тең шекаралық шарттардың санын 2-ден аспайтындай етуімізге болады. Сәйкесінше қалған формалардың реті 406.jpg-ден аспайды. Дәл осылай істей беру арқылы реті бірдей шекаралық шарттардың санын минимумға келтіреміз. Бұл айтылған әдіс шекаралық шарттарды нормалау әдісі деп аталады, ал пайда болған шекаралық шарттарды нормаланған шекаралық шарттар деп атаймыз. Көрсетілген әдіс орындалғаннан кейінгі алынған шекаралық шарттар, яғни нормаланған шекаралық шарттар келесідей түрде болуы айқын:

407.jpg (1.3.3)

бұл жердегі

408.jpg (1.3.4)

409.jpg (1.3.5)

410.jpg

және де әрбір 411.jpg саны үшін 412.jpg сандарының біреуі нөлден өзгеше.

Бекітілген 391.jpg облысын қарастырайық, жәнеде 414.jpg арқылы 415.jpg үшін келесі шарт орындалатындай нөмірлеп шығайық

416.jpg

Алдағы уақытта бізге регуляр шекаралық шарттар классын бөліп алу ыңғайлы болады. Бұл класс 390.jpg жұп немесе тақ болуына байланысты, екі түрлі анықталады.

1. 390.jpg тақ болса, яғни 419.jpg (1.3.3)-ші нормаланған шекаралық шарттар регуляр деп аталады, егерде төмендегі теңдікпен анықталған 420.jpg сандары нөлден өзгеше болса

421.jpg

2. 390.jpg жұп болса, яғни 423.jpg (1.3.3)-ші нормаланған шекаралық шарттар регуляр деп аталады, егерде төмендегі теңдікпен анықталған 424.jpg сандары нөлден өзгеше болса

425.jpg

426.jpg

Бұл берілген регуляр шекаралық шарттардың анықтамасы 427.jpg сандарын нөмірлеуге қажет болған 428.jpg облысын таңдауға тәуелсіз.

Енді осы айтылған регуляр шекаралық шарттарға біраз мысалдар қарастырайық:

1. 429.jpg жұп жағдайындағы Штурм тектес шеаралық шарттар. Бұл шекаралық шарттар келесідей түрде болады:

430.jpg

бұл жердегі

431.jpg

байқағанымыздай шекаралық шарттардың жартысы 432.jpgфункциясының 433.jpg нүктесіндегі мәндерін, ал жартысы 434.jpg нүктесіндегі мәндерді қамтиды. Бұл жағдайда

435.jpg

сәйкесінше,

436.jpg

437.jpg (1.3.6)

438.jpg (1.3.7)

(1.3.6) және (1.3.7) формулаларындағы барлық анықтауыштар нөлден өзгеше, сол себепті Штурм тектес шекаралық шарттар регуляр екені шығады. 439.jpg болғандықтан, Штурм тектес шекаралық шарттар 440.jpg мағынасындағы күшейтілген регуляр екені шығады.

2. Периодты шекаралық шарттар регуляр. Бұл шарттар келесідей түрдегі шекаралық шарттар

441.jpg

Шыныменде, 429.jpg жағдайында

443.jpg

444.jpg

бұл жердегі 445.jpg- 446.jpg сандарының Вандермонд анықтауышы және сәйкесінше 447.jpg Сол себепті,

448.jpg

демек, шекаралық шарттар регуляр болады. Дәл осылай 390.jpg тақ жағдайында да регуляр екенін көрсетуге болады.

3. 450.jpg жағдайындағы жалпы шекаралық шарттарды қарастырайық. Бұл жағдай да шекаралық шарттар келесі түрде болады

451.jpg

Келесі жағдайларда қарастырайық.

1) 452.jpg Онда жоғарыдағы шекаралық шарттарды 453.jpg белгісіздеріне қатысты шешіп келесідей түрге әкелеміз

454.jpg

Бұл жағдай да

455.jpg

сәйкесінше, 456.jpg демек шекаралық шарттар регуляр.

2) 457.jpg Бұл жағдайда шекаралық шарттарды келесі түрге келтіруге болады

458.jpg

459.jpg

Демек, шекаралық шарттар бұл жағдайда регуляр болуы үшін 460.jpg болуы керек.

3) 461.jpg Шекаралық шарттардағы формалар сызықтық тәуелсіз болуы керек болғандықтан 462.jpg болуы керек, ал бұл келесі шекаралық шарттармен эквивалент

463.jpg

464.jpg

демек, шекаралық шарттар регуляр болады. Жоғарыда алынған жағдайлардың барлығын бірге қосып жазатын болсақ, келесідей шарттар аламыз:

Екінші ретті шекаралық шарттар келесі жағдайларда регуляр болады:

1) 465.jpg

2) 466.jpg

3) 467.jpg

Регуляр шекаралық шарттардың күшейтілген регуляр және күшейтілген емес регуляр деген екі классқа бөлсек болады. Регулярлық шекаралық шарттар күшейтілген регуляр деп аталады, егерде 468.jpg болса. Сызықтық жай дифференциалдық оператордың меншікті мәндерінің асимптотикасы, осы анықталған күшейтілген регуляр, күшейтілген емес регуляр шекаралық шарттар жағдайларында әр – түрлі анықталады. Келесідей теореманы дәлелдеусіз берейік, дәлелдеуін [1] кітабынан қарасаңыз болады.

Теорема 1.3.1. Регуляр шекаралық шарттардан туындаған, 469.jpg интервалында анықталған 390.jpg-ші ретті дифференциалдық оператордың меншікті мәндері екі шексіз сериядан 471.jpg тұрады, 472.jpg - қандайда бір бүтін сан.

390.jpg-тақ жағдайы, 474.jpg

475.jpg (1.3.8)

476.jpg (1.3.9)

Ал 390.jpg-тақ, бірақ 478.jpg болғанда

479.jpg (1.3.10)

480.jpg (1.3.11)

бұл жердегі, 481.jpg сандары 482.jpg облысына сәйкес, 411.jpg жұп немесе тақ жағдайларындағы 484.jpg теңдеулерінің түбірлері.

390.jpg-жұп жағдайы, 486.jpg және 487.jpg

488.jpg (1.3.12)

489.jpg (1.3.13)

бұл жердегі, 490.jpg сандары

491.jpg (1.3.14)

теңдеуінің, 492.jpg облысына сәйкес келетін түбірлері. Ал формуладығы қосу алу белгілері, 493.jpg-дың сәйкесінше тақ жұп болуына байланысты.

Ал 390.jpg-жұп, 486.jpg және 496.jpg

497.jpg (1.3.15)

498.jpg (1.3.16)

бұл жердегі, 499.jpg492.jpg облысына сәйкес келетін (1.3.14) теңдеудің еселі түбірі. Ал формуладығы қосу алу белгілері, 493.jpg-дың сәйкесінше тақ жұп болуына байланысты.

Алғашқы үш жағдайда белгілі бір нөмірден бастап барлық меншікті мәндер қарапайым болады, ал төртінші жағдайда белгілі бір нөмірден бастап меншікті мәндері қарапайым немесе екі еселі.

Енді алдағы уақытта регуляр шекаралық шарттардың әр түріне жеке тоқталып, төртінші ретті дифференциалдық оператор үшін регуляр, оның ішінде күшейтілген және күшейтілген емес шекаралық шарттарды бөліп алып. Сол әр шарттқа сәйкес дифференциалдық оператордың меншікті функцияларының асимптотикасын алып, олардың базис болу болмауын тексереміз.

Шекаралық шарттар күшейтілген регуляр болған жағдайда оператордың меншікті және қосалқы функциялары 502.jpg кеңістігінде Рисс базисін құратыны белгілі. Бұл айтылғанды ең алғаш В.П. Михайлов көрсетті. Дәл осы нәтиже Кессельман Г.М. жұмыстарында, және Данфорд Н. мен Шварц Т. монографиясында бар. Бұл жұмыстардың барлығында да, дәлелдеу оператор мен оның түйіндес операторының нормаланған меншікті және қосалқы функциялар жүйесінің бесселдік екендігіне әкелінді.

Кессельман Г.М. жұмыстарында шекаралық шарттары регуляр бірақ күшейтілген емес регуляр болатын дифференциалдық оператордың меншікті және қосалқы функциялары базис құрмайтындай мысалдар көрсеткен. Себебі бұл жағдайларда оператор Данфорд Н. мағынасында спектральды болмайды, демек бұл жағдайда оператордың меншікті және қосалқы функциялары Рисс базисін құрмайтыны белгілі. Бұл жайтты, оператордың меншікті мәндері асимптотикалық жақын орналасқандығымен түсіндіруге болады, демек келесідей асимптотикаға ие

503.jpg

504.jpg болғанда. Соның ішінде жақын орналасқан меншікті мәндерге сәйкес меншікті функциялар бір біріне тең емес, бірақта арасындағы бұрыш нөлге ұмтылады. Дәл осындай жағдайларда оператордың меншікті және қосалқы функциялар жүйесі базис құрмайды.

Келесідей дифференциалдық өрнекпен

505.jpg

жалпы түрдегі шекаралық шарттардан туындаған

506.jpg

оператор қарастырайық. Жоғарыда айтқанымыздай шекаралық шарттар регуляр болады, егерде төмендегі үш шарттын біреуі орындалса:

507.jpg

Ал регуляр шекаралық шарттар күшейтілген регуляр деп аталады, егерде бірінші немесе екінші шарттар орындалған жағдайда, және екінші жағдайда, егерде тағы қосымша келесідей шарт орындалса

508.jpg

Екінші ретті дифференциалдық операторлар үшін регуляр, бірақ күшейтілген регуляр емес шекаралық шарттардың келесідей ыңғайлы түрі бар [2]. Бұл жұмыста регуляр, бірақ күшейтілген емес регуляр шекаралық шарт келесі түрге келтіріледі

509.jpg510.jpg

жәнеде келесі төрт шарттын біреуін қанағаттандырады:

511.jpg

Екінші ретті дифференциалдық операторларға қарағанда төртінші ретті шекаралық шарттары күшейтілген емес регуляр болатын дифференциалдық операторлардың спектральдық теориясы азырақ дамыған. Бұған байланысты тек жекеленген жұмыстар ғана бар.[3,4] Бұл дипломдық жұмыста алдағы уақытта дәл осы шекаралық шарттар күшейтілген емес регуляр болатын төртінші ретті дифференциалдық операторлардың спектральдық қасиеттері зерттеледі.

Келесідей түрдегі дифференциалдық өрнекпен

512.jpg (1.3.17)

жалпы түрдегі шекаралық шарттардан

513.jpg

514.jpg (1.3.18)

туындаған дифференциалдық оператор қарастырайық, бұл жерде 515.jpg комплекс коэффициентті сызықтық тәуелсіз формалар. Осы берілген шекаралық шарттардың коэффициенттерінен құралған матрицаны 516.jpg арқылы белгілейік. Келесідей жеті жағдайда шекаралық шарттар күшейтілген емес регуляр болады:

517.jpg (1.3.19)

(1.3.19)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 518.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде 519.jpg

520.jpg (1.3.20)

(1.3.20)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 521.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде 522.jpg

523.jpg (1.3.21)

(1.3.21)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 521.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде 522.jpg

526.jpg (1.3.22)

(1.3.22)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 527.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде 528.jpg

529.jpg (1.3.23)

(1.3.23)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 527.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде 528.jpg

532.jpg (1.3.24)

(1.3.24)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 518.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде 519.jpg

Жәнеде күшейтілген емес регуляр болатын шекаралық шарттардың классы келесідей түрде:

535.jpg (1.3.25)

(1.3.24)-шы шекаралық шарттар регуляр болады, егерде 536.jpgкүшейтілген емес регуляр болады, егерде келесі екі шарттын біреуі орындалса:

537.jpg

Енді осы берілген жағдайларды жеке қарастырайық. Бұл жердегі алғашқы алты жағдайдың спектральдық қасиеттері мен соларға байланысты теоремалар және олардың дәлелдеулері ұқсас, сол себепті тек бірінші жағдайға ғана тоқтала кетейік. Бірінші жағдайдың өзінде де бір дербес есепті дәлелдеуімен көрсетіп, жалпы түрде тек теореманы көрсете кетеміз.

Айталық, келесідей есепті қарастырайық

512.jpg

539.jpg

Бұл есеп бірінші классқа тиісті екені айқын, сәйкесінше шекаралық шарттары күшейтілген емес регуляр болады.

Лемма 1.3.2 Жоғарыда берілген барлық меншікті мәндері белгілі бір нөмірден бастап қарапайым жәнеде келесідей екі серия құрады 540.jpg бұл жердегі 472.jpg оң бүтін сан:

542.jpg

бұл жердегі 543.jpg

Дәлелдеуі. Дәлелдеуі берілген есептің характеристикалық анықтауышын есептеп, Руше теоремасын қолдануға сүйенеді. Сол себепті дәлелдеуіне тоқталмаймыз. Ал меншікті мәндер қарапайым болатынын 544.jpg екенін көрсету арқылы дәлелдеуге болады.

Теорема 1.3.3 Жоғарыдағыесептің 545.jpg меншікті мәндеріне сәйкес меншікті функциялары келесідей түрде болады

546.jpg

бұл жердегі 547.jpg жеткілікті үлкен сан.

Дәлелдеуі. Берілген теңдеуіміздің жалпы шешімі келесідей түрде жазылады

548.jpg

Осы жалпы шешімімізді шекаралық шарттарға қойсақ белгісіз тұрақтыларға байланысты жүйе аламыз

549.jpg

Бұл жүйені шешу барысында келесідей шешім аламыз

550.jpg

бұл жердегі

551.jpg

552.jpg

Демек,

553.jpg

Бұл алғандарымызды жалпы шешімге қойып жәнеде 554.jpg деп алсақ, теоремамыздың дәлелдеуі шығады.

Теорема 1.3.4 Жоғарыдағы есептің 545.jpg меншікті мәндеріне сәйкес меншікті функцияларының жүйесі 556.jpg557.jpg кеңістігінде базис құрмайды.

Дәлелдеуі. Келесідей скаляр көбейтінді қарастырайық

558.jpg559.jpg

Бұл жерден Лемма 1.3.2-ның көмегі мен жеткілікті үлкен 547.jpgсандары үшін 561.jpg екені айқын. [5] жұмысынның көмегімен бұл жүйе базис құрмайтынын көреміз.

Теорема дәлелденді.

Енді бірінші класстағы шекаралық шарттарды жалпы қарастырайтын болсақ, бізде шекаралық шарттар күшейтілген регуляр болуы үшін келесі шарттар орындалу керек:

562.jpg

Ал бұл екі шартты қанағаттандыратын коэффициенттердің жалпы шешімі келесі түрде

563.jpg немесе

564.jpg

бұл жердегі 565.jpg кез – келген комплекс сан (566.jpg жағдайы 567.jpg болатын жағдайға түйіндес, ал жай дифференциалдық оператор мен оның спектральдық қасиеттері бірдей болғандықтан ол жағдайды қарамасақта болады). Яғни жалпы алынған шешімге байланысты жалпы есепке қатысты келесідей теорема 1.3.3-ке ұқсас теорема аламыз

Теорема 1.3.5 Жоғарыдағы жалпы есептің 568.jpg меншікті мәндеріне сәйкес меншікті функциялары келесідей түрде болады

569.jpg

бұл жердегі 547.jpg жеткілікті үлкен сан.

Дәл теорема 1.3.4-ке ұқсас бұл алынған жұйемізде 557.jpg кеңістігінде базис құрмайтыны айқын [5].


2 ЕКІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРДЫҢ ОЙЫЛҒАН КЕСІНДІДЕГІ БІРІНШІ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯЛАНҒАН ІЗІ

2.1 Есептің қойылуы және нәтижелер

Келесідей функционалдық кеңістік еңгізейік 572.jpg, және де ол 573.jpgинтервалының барлық дерлік жерінде анықталған 574.jpg және келесідей шарттарды қанағаттандыратын 575.jpgфункциялар кеңістігі болсын, бұл жердегі 576.jpg- 577.jpg интервалының характеристикалық функциясы. Бұл берілген 572.jpg кеңістігі 579.jpg кеңістігіне тең болмайды, өйткені 580.jpg бірақ 581.jpg Бұл кеңістіктің нормасын келесідей түрде еңгізейік

582.jpg

Осы берілген 572.jpg кеңістігінде келесідей дифференциалдық өрнекпен

584.jpg (2.1.1)

төмендегі шекаралық шарттардан

585.jpg (2.1.2)

586.jpg (2.1.3)

587.jpg (2.1.4)

588.jpg (2.1.5)

туындаған 589.jpgоператорының бірінші регуляризацияланған ізін зерттейміз.

Айтылып жатылған мағлұматтың толықтығы үшін 590.jpg операторының ақырлы ойылған кесіндідегі қисынды анықтамасын берейік. 591.jpg дифференциалдық өрнегін 592.jpg және 593.jpg интервалдарының қиылысуында қарастырайық. Бұл айтылған дифференциалдық өрнекке төмендегідей анықталған 594.jpg максималды операторын сәйкес қояйық

595.jpg

Яғни 590.jpg операторын осын берілген максималды оператордың тарылуы ретінде алсақ болады

597.jpg598.jpgқанағаттандырады599.jpg

Регуляризацияланған іздер теориясының дамуына жол ашқан жұмыстар 1947-1952 И.М. Лифщиц жұмыстары болған. Регуляризацияланған іздердің формулалары физикалық мағынаға ие болған екен және де И.М. Лифщиц [6] өзі тапқан формулалар арқылы криссталлға бөгде қоспа қосу барысындағы оның бос энергегиясының өзгерісін анықтаған. 600.jpgкеңістігінде анықталған

601.jpg (2.1.6)

дифференциалдық өрнегі мен Дирихле шекаралық шарттарынан туындаған Штурм – Лиувилль операторы үшін, меншікті мәндерін 602.jpg арқылы белгілеп және жатық потенциал 603.jpg үшін келесідей классикалық бірінші регуляризацияланған іздің формуласы бар ([7]-[10]):

604.jpg

Бұл формула кез – келген, 605.jpg және 606.jpg нүктелеріндегі Фурбе қатары осы функцияның өзінің мәндеріне жинақталатын 607.jpg потенциалы үшін де сақталады екен [11].

608.jpg жағдайында бірінші регуляризацияланған іздің формуласын В.А. Винокуров және В.А. Садовничий есептеген [12]. Олар кез – келген 609.jpg функциясы үшін

610.jpg

қатары жинақталатынын дәлелдеген. Бұл жердегі 611.jpg- 612.jpg кесіндісіндегі вариациясы шектелген функция, және де кесіндінің шеттерінде үзіліссіз.

[13] жұмыста, потенциалы 613.jpg болатын (2.1.6), (2.1.2), (2.1.5)-ші есептің бірінші регуляризацияланған ізі:

614.jpg

жинақталатыны және оның қосындысы 615.jpg екені көрсетілген. Бұл операторды [14] жұмыстағы жалпылама нәтижелерді қолданып анықтасада болады. Осындай түрдегі операторлардың басқада практикалық қолданыстарын [15] жұмыстан қараса болады.

Алдағы уақытта зерттелініп отырылған 590.jpg операторының бірінші регуляризацияланған ізі ретінде 617.jpg болғандағы дербес қосындылардың шегін айтатын боламыз

618.jpg (2.1.7)

егерде қандайда бір шектелмеген өспелі 619.jpg контурларының тізбегі табылса. 619.jpgарқылы комплекс кеңістіктегі радиусы 621.jpg болатын шеңберлерді белгілейік.

Теорема 2.1.1. Айталық, 590.jpg - (2.1.1)-(2.1.5) есебіне сәйкес екінші ретті дифференциалдық оператор болсын. Онда 617.jpg болғанда (2.1.7) дербес қосындыларының шегі бар және ол 624.jpg болады.

2.2 Характеристикалық анықтауыш

Бұл бөлімде біз 625.jpg кеңістігінде анықталған кеңірек анықталған операторлар классының характеристикалық анықтауышын есептейміз, айталық, (2.1.1) дифференциалдық өрнекпен келесідей шекаралық шарттардан туындаған оператор қарастырайық

626.jpg (2.1.2)

627.jpg (2.2.1)

628.jpg (2.1.4)

629.jpg (2.1.5)

бұл жердегі 630.jpg. 631.jpg болғанда жоғарыдағы оператор шектелген қайтымды және жтим, что при 631.jpg оператор 633.jpg является ограниченно обратимым, барлық дерлік жерде үзіліссіз екені [16-17] жұмыстарынан белгілі.

Егерде

634.jpg (2.2.2)

десек, онда бастапқы 590.jpg операторын аламыз.

636.jpg жағдайында 590.jpg операторы төмендегі дифференциалдық өрнекпен Дирихле шекаралық шарттарынан туындаған Штурм – Лиувилль, операторына эквивалент екені [13] жұмыстан белгілі

638.jpg

[18] жұмыста Лаплас операторының ойылған шеңбердегі қисынды шешілетін барлық шекаралық шарттар сипатталған. Ал [19] жұмыста Лаплас операторының ойылған облыстағы өз – өзіне түйіндес кеңейімдер сипатталған.

Алдағы атқарылатын жұмыстарда келесі лемма үлкен рөл атқарады.

Лемма 2.2.1 Осы бөлім басында берілген оператордың характеристикалық анықтауышы келесі формуламен анықталады:

639.jpg

640.jpg

641.jpg (2.2.3)

бұл жердегі 642.jpg

Дәлелдеуі. 643.jpg аралығында шешім келесідей түрде болады 644.jpg. (2.2.1) шартты ескере отырып, келесі теңдікті аламыз

645.jpg

бұл жердегі 646.jpg Енді (2.1.4) шарртты ескере отырып

647.jpg

екені айқын. Сол себепті 648.jpg аралығында шешім келесідей түрде жазылады

649.jpg

Енді с тұрақтысын анықтайық:

650.jpg

651.jpg

652.jpg

Яғни:

653.jpg654.jpg

Бұдан алатынымыз

655.jpg656.jpg657.jpg

(2.1.5) шартты ескере отырып

658.jpg659.jpg660.jpg

Соңғы алынған теңдіктен (2.2.3)-ші формула шығатыны айқын.

Лемма 2.2.1 дәлелденді.

2.3 Негізгі нәтиженің дәлелдеуі

Шекаралық функция 661.jpg (2.2.2) формуласы түрінде болғандықтан662.jpg екені айқын.

Енді (2.2.2) теңдікті пайдаланып, (2.2.3)-ші формуланы келесідей түрге келтіреміз:

663.jpg

Ал Лагранж формуласы арқылы:

664.jpg (2.3.1)

(2.3.1) теңдікті ескере отырып

665.jpg

666.jpg

Айталық, 667.jpg болсын:

668.jpg (2.3.2)

бұл жердегі

669.jpg

Байқағанымыздай, 670.jpg жұп функция, ал 671.jpg функциясы 672.jpg контурында қандайда бір тұрақтымен шенелген, жәнеде ол тұрақты 673.jpg-нан тәуелсіз, жәнеде 674.jpg функциясы 673.jpg-ның үлкен мәндерінде 672.jpg-да голоморфты.

Лемма 2.3.1 677.jpg болған кезде келесідей интегралдық теңдіктер орынды:

678.jpg

679.jpg

680.jpg

Дәлелдеуі. Бірінші интеграл 681.jpg нүктелерінде қарапайым полюсы болғандықтан:

682.jpg

683.jpg

Енді екінші интегралды есептейік. Шыныменде 684.jpg болғанда

685.jpg

686.jpg687.jpg688.jpg689.jpg

690.jpg

691.jpg

бұл жердегі a,b,c,... 692.jpg функциясының Тейлор коэффициенттері, жәнеде 693.jpg

Енді екінші интегралды қолданып үшіншісін есептейік:

694.jpg

Лемма дәлелденді.

Теореманың дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін Кошидің шегерімдер туралы теоремасын (2.3.2) теңдікке қолданайық

695.jpg696.jpg

Ал Лемма 2.3.1-ден

697.jpg (2.3.3)

Ал бұл теңдіктен теореманың дәлелденгені көрініп тұр.


ҚОРЫТЫНДЫ

Төртінші ретті дифференциалдық оператордың біраз спектральдік қасиеттері зерттелді. Соның ішінде регуляр, бірақ күшейтілген емес шекаралық шарттардың жалпы түрі берілді. Айта кететіні алғашқы алынған алты жағдайдыі, бұдан бұрын алынған екінші ретті диференциалдық оператордағы күшейтілген емес регуляр шекаралық шарттардан айырмашылығы. Және сол алты жағдайдан туындаған оператордың меншікті мәндері мен меншікті функцияларының асимптотикасы алынды. Жәнеде меншікті функциялар жүйесі 698.jpg кеңістігінде базис құрмайтыны анықталды. Алдағы уақытта аз зерттелген жетінші жағдай тереңірек зерттеледі.

Екінші есеп ретінде ойылған кесіндіде анықталған екінші ретті дифференциалдық оператордың бірінші регуляризацияланған ізін есептеу болған. Бұл мақсатта толық ақталды деген сенімдемін. Өйткені бірінші регуляризациялаған із есептеліп ғана қоймай, бірінші регуляризацияланған із үшін осыған дейін белгілі классикалық Гельфанд – Левитан формуласына ұқсас формула алынды.


ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Naimark, M.A: Lineinye differencialnye operatory (Linear Differential Operators) [in Russian]. Nauka. (Moskva). 2, (1969).

2. Orazov, I ,Sadybekov, MA: On a class of problems of determining the temperature and density of heat sources given initial and final temperature . Siberian Mathematical Journal. 53, (1), 146--151 (2012).

3. Kerimov, NB, Kaya, U: Some problems of spectral theory of fourth-order differential operators with regular boundary conditions. Arab J Math. 3, 49--61 (2014).

4. Menken, H: Accurate Asymptotic Formulas for Eigenvalues and Eigenfunctions of a Boundary-Value Problem of Fourth Order. Boundary Value Problems. 10, (1), 21 pages (2010).

5. Sadybekov, MA, Sarsenbi, AM: On a necessary condition for a system of normalized elements to be a basis in a Hilbert space [in Russian]. Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh. 13, (1), 44--46 (2013).

6. И.М. Лифшиц, Об одной задаче теории возмущений связанной с квантовой статистикой // УМН. 1952. Т.7. №1(47). С.171-180.

7. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1953. Т.88. №4. С.593-596.

8. Л.А. Дикий, Об одной формуле Гельфанда-Левитана // УМН. 1953. Т.8. №2. С.119-123.

9. Б.М. Левитан, Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля // УМН. 1964. Т.19. №1. С.161-165.

10. В.Б. Лидский, В.А. Садовничий, Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. №2. С. 259-262.

11. В.А. Марченко, Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев: Наукова думка, 1977.

12. В.А. Винокуров, В.А. Садовничий, Собственное значение и след оператора Штурма-Лиувилля как дифференцируемые функции суммируемого потенциала // Докл. РАН. 1999. Т. 365. №3. С.295-297.

13. А.М. Савчук, Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с --- потенциалом // УМН. 2000. Т.55. №6(336). С.155-156.

14. А.М. Савчук, А.А. Шкаликов, Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т.66. №6, С. 897-912

15. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden, Solvabel models in quantum mechanics, New Yourk: Springer, 1988 (Second edition: AMS, 2005)

16. Б.К. Кокебаев, М. Отелбаев, А.Н. Шыныбеков, К вопросам расширения и сужения операторов // Доклады АН СССР. 1983. Т. 271, №6. С. 1307-1311.

17. B.E. Kanguzhin and D.B. Nurakhmetov, Boundary Value Problems for 2nd Order Non-homogeneous Differential Equations with Variable Coefficients// Journal of Xinjiang University (Natural Science Edition). 2011. Vol. 28, 28 (Sum.121), №1, Р. 47-56.

18. Кангужин Б.Е., Анияров А.А. Корректные задачи для оператора Лапласа в проколотой области // Матем. заметки, 2011, Т.89, №6, С. 856-867

19. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б., Токмагамбетов Н.Е. Оператор Лапласа с 699.jpg-подобными потенциалами // Изв. вузов. Матем., 2014, №2, С. 9-16.


Информация о реферате «Төртінші ретті жай дифференциалдық операторлардың спетральдық қасиеттері»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 57942
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 23

0 комментариев


Наверх