Простейшие логические функции

Простейшими логическими функциями называют функции одной и двух переменных. Число различных значений функций равно 2 ^m , где m в свою очередь равно 2 ⁿ ( n – число переменных). Таким образом, число возможных функций для одной переменной – 4, а для двух переменных – 16. Все они имеют названия и представлены в таблицах 1 и 2.        

Таблица 1 Функции одной переменной

Х	0	1	Аналитическое выражение	Название функции
f (ν) 1	0	0	0	Постоянный  0
f (ν) 2	0	1	Х	Повторение  Х
f (ν) 3	1	0		Отрицание  Х
f (ν) 4	1	1	1	Постоянная 1

 

Таблица 2 Функции двух переменных

Х 1	0	1	0	1	Аналитическое выражение	Название функции
Х 2	0	0	1	1
f (ν) 1	0	0	0	0	0	Постоянный 0
f (ν) 2	0	0	0	1	Х 2 • Х 1	Конъюнкция
f (ν) 3	0	0	1	0	Х   2   Х 1	Запрет по Х 1
f (ν) 4	0	0	1	1	Х 2	Тождественность Х 2
f (ν) 5	0	1	0	0	Х 2  Х 1	Запрет по Х 2
f (ν) 6	0	1	0	1	Х 1	Тождественность Х 2
f (ν) 7	0	1	1	0	Х 2 (+) Х 1	Неравнозначность
f (ν) 8	0	1	1	1	Х 2 V Х 1	Дизъюнкция
f (ν) 9	1	0	0	0	Х 2 ↓ Х 1	Стрелка Пирса
f (ν) 10	1	0	0	1	Х 2 ~ Х 1	Равнозначность
f (ν) 11	1	0	1	0		Отрицание  Х 1
f (ν) 12	1	0	1	1	Х 2 ->  Х 1	Импликация от Х 2 к Х 1
f (ν) 13	1	1	0	0		Отрицание  Х 2
f (ν) 14	1	1	0	1	Х 1-> Х 2	Импликация от Х 1 к Х 2
f (ν) 15	1	1	1	0	Х 2  /  Х 1	Штрих Шеффера
f (ν) 16	1	1	1	1	1	Постоянная 1

 

В практике используются не все функции одной и двух переменных. Достаточно всего несколько, чтобы реализовать сколь угодно сложную схему.

Кроме того, одни функции можно выразить через другие, используя законы, тождества и теоремы алгебры логики. Рассмотрим более подробно простейшие функции, которые реализованы в интегральном исполнении и имеются в языках программировании микропроцессоров и микроконтроллеров.

 

Отрицание (инверсия, функция НЕ). Обозначается чертой над переменными. Таблица истинности, аналитическое выражение и условное графическое изображение представлены на рисунке 1

 

Номер строки	Х	f (ν)
0	0	1
1	1	0

 

 

 

 Рисунок 1

Словесное описание: функция принимает инверсное (противоположное) значение переменной. 

 

Конъюнкция ( логическое умножение, функция И). Обозначается символом • между переменными ( используются также символы & и ^ ). Таблица истинности, аналитическое выражение и условное графическое изображение представлены на рисунке 2

    

Номер строки	Х 2	Х 1	f (ν)
0	0	0	0
1	0	1	0
2	1	0	0
3	1	1	1

  

 

 

 

f (ν) = Х ₂ • Х ₁

 

Рисунок 2

Словесное описание: функция принимает единичное значение только тогда, когда все переменные равны единице.

 

Дизъюнкция (логическое сложение, функция ИЛИ). Обозначается символом V между переменными ( используется также символ + ). Таблица истинности, аналитическое выражение и условное графическое изображение представлены на рисунке 3

 

Номер строки	Х 2	Х 1	f (ν)
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	1

 

 

 

 

f (ν) = Х ₂ V Х ₁  

  

Рисунок 3

Словесное описание: функция принимает единичное значение, если хотя бы одна переменная равна единице.

 

Конъюнкция с отрицанием (логическое умножение с отрицанием, функция И-НЕ). Обозначается символом • между переменными и над выражением ставится черта ( используются также символы & и ^ ). Таблица истинности, аналитическое выражение и условное графическое изображение представлены на рисунке 4.

 

Номер строки	Х 2	Х 1	f (ν)
0	0	0	1
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

 

 

 

 

f(ν) = Х ₂ • Х ₁  

Рисунок 4

Словесное описание: функция принимает единичное значение, если хотя бы одна переменная равна нулю.

 

Дизъюнкция с отрицанием (логическое сложение с отрицанием, функция ИЛИ-НЕ).Обозначается символом V между переменными и над выражением ставится черта ( используется также символ + ). Таблица истинности, аналитическое выражение и условное графическое изображение представлены на рисунке 5.

    

Номер строки	Х 2	Х 1	f (ν)
0	0	0	1
1	0	1	0
2	1	0	0
3	1	1	0

 

 

 
f (ν) = Х ₂ V Х ₁ 

Рисунок 5

 

Словесное описание: функция принимает единичное значение только тогда, когда все переменные равны нулю.

 

Неравнозначность (исключающее ИЛИ). Обозначается символом (+) между переменными. Таблица истинности, аналитическое выражение и условное графическое изображение представлены на рисунке 6.

    

Номер строки	Х 2	Х 1	f (ν)
0	0	0	0
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

 

 

  

 

f (ν) = Х ₂ (+) Х ₁

Рисунок 6

Словесное описание: функция принимает единичное значение, тогда, когда только одна переменная равна единице. Для двух переменных (но только для двух) эта функция отражает математическую операцию сумма по модулю два.