Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Методы решения краевых задач, в том числе «жестких»

11612
знаков
0
таблиц
6
изображений

Теория метода д.ф.-м.н. Юрия Ивановича Виноградова и к.ф.-м.н. Алексея Юрьевича Виноградова решения жестких краевых задач без ортонормирования

оболочки ракет составные и со шпангоутами.

Идея преодоления трудностей неустойчивого счета путем разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки принадлежит д.ф.-м.н. Юрию Ивановичу Виноградову (в том числе на этом материале защищена докторская диссертация). А выражение идеи разделения и сопряжения через формулы теории матриц, то есть через матричные экспоненты принадлежит к.ф.-м.н. Алексею Юрьевичу Виноградову.

 

Содержание:

1.  Введение. (стр.1-5)

2.  Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. (стр. 6-7)

3.  Составные оболочки вращения. (стр. 8-11) (22 мая 2014)

4.  Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. (стр. 10-14) (22 мая 2014)

5.  Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных физических параметров. (стр. 15-17) (22 мая 2014)

 

Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования - оболочки ракет составные и со шпангоутами.

1. Введение.

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных методом Фурье).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

1.jpg,

где 2.jpg – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, 3.jpg – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, 4.jpg – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, 5.jpg – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Краевые условия имеют вид:

6.jpg

где 7.jpg – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, 8.jpg – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, 9.jpg – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

10.jpg – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, 11.jpg– прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, 12.jpg – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами 4.jpg=const, решение задачи Коши имеет вид [1]:

14.jpg,

 

где 15.jpg, где 16.jpg- это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

17.jpg.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

18.jpg,

где 19.jpg это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [1]:

19.jpg

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

21.jpg.

Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

22.jpg

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов 4.jpg=const.

Вектор 24.jpg может рассматриваться на участке 25.jpg приближенно в виде постоянной величины 26.jpg, что позволяет вынести его из под знака интеграла, что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке.

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица 27.jpg коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вариант, когда шаги интервала интегрирования выбираются достаточно малыми, что позволяет рассматривать вектор 24.jpg на участке 25.jpg приближенно в виде постоянной величины 26.jpg, что позволяет вынести этот вектор из под знаков интегралов:

31.jpg

Известно, что при T=(at+b) имеем 32.jpg

В нашем случае имеем 33.jpg

Тогда получаем 34.jpg.

Тогда получаем ряд для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на малом участке 25.jpg:

36.jpg

Если участок 25.jpg не мал, то его можно поделить на подучастки и тогда можно предложить следующие рекуррентные (итерационные) формулы для вычисления частного вектора:

Имеем 18.jpg.

Также имеем формулу для отдельного подучастка:

21.jpg.

Можем записать:

40.jpg,

41.jpg.

Подставим 42.jpg в 43.jpg и получим:

44.jpg

45.jpg.

Сравним полученное выражение с формулой:

46.jpg

и получим, очевидно, что:

47.jpg

и для частного вектора получаем формулу:

48.jpg.

То есть вектора подучастков 49.jpg не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.

    Аналогично запишем 50.jpg и подставим сюда формулу для 42.jpg и получим:

52.jpg

    Сравнив полученное выражение с формулой:

53.jpg

очевидно, получаем, что:

54.jpg

и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:

55.jpg

То есть именно так и вычисляется частный вектор – вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор 56.jpg на рассматриваемом участке 57.jpg через вычисленные частные вектора 58.jpg, 59.jpg, 60.jpg соответствующих подучастков 61.jpg, 62.jpg, 63.jpg.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

64.jpg

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами 65.jpg, решение задачи Коши предлагается искать (как это известно) при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

64.jpg,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

67.jpg, где 68.jpg.

2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами.

Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:

69.jpg.

Имеем краевые условия в виде:

70.jpg

Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:

40.jpg,

41.jpg,

50.jpg.

    Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:

74.jpg,

75.jpg,

76.jpg.

где 16.jpg - единичная матрица.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений:

78.jpg.

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что счет на них является устойчивым.

В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:

79.jpg.

 

 

3. Составные оболочки вращения.

Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения.

Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному – разными формулами на разных участках:

80.jpg

 

В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор 81.jpg) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор 82.jpg) следующим образом:

83.jpg,

где матрица 84.jpg - квадратная невырожденная.

При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения 85.jpg):

86.jpg,

где 87.jpg - дискретное приращение физических параметров (сил, моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица 88.jpg квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) – в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.

Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:

89.jpg.

    В точке сопряжения 90.jpg аналогично получим уравнение:

91.jpg.

    Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:

78.jpg.

    Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои дифференциальные уравнения.

    Тогда вместо векторов 93.jpg, 43.jpg, 42.jpg, 96.jpgмы должны рассмотреть вектора:

97.jpg.

80.jpg

    Тогда матричные уравнения

99.jpg

74.jpg,

75.jpg,

76.jpg

примут вид:

103.jpg

104.jpg,

89.jpg,

106.jpg,

91.jpg,

108.jpg.

После перестановки слагаемых получаем:

103.jpg

110.jpg,

111.jpg,

112.jpg,

113.jpg,

114.jpg.

В итоге мы можем записать итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

115.jpg

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

    В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:

79.jpg.

Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.

4. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями.

    Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке 85.jpg) выражается не через дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.

118.jpg

    Выше мы записывали, что:

119.jpg

    Можем представить вектор 120.jpg силовых факторов и перемещений в виде:

121.jpg,

где 122.jpg- вектор перемещений, 123.jpg- вектор сил и моментов.

Алгебраическое уравнение для шпангоута:

124.jpg,

где G – матрица жесткости шпангоута, R – вектор перемещений шпангоута, 125.jpg – вектор силовых факторов, которые действуют на шпангоут.

    В точке шпангоута имеем:

126.jpg,

то есть нет разрыва в перемещениях 127.jpg, но есть результирующий вектор силовых факторов 128.jpg, который складывается из сил и моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута.

129.jpg,

130.jpg,

131.jpg,

132.jpg,

133.jpg, где 134.jpg,

что справедливо, если мы не забываем, что в данном случае имеем:

135.jpg,

то есть вектор перемещений и силовых факторов составляется сначала из перемещений (выше) 122.jpg, а потом из силовых факторов (ниже) 123.jpg.

Здесь необходимо вспомнить, что вектор перемещений 122.jpg выражается через искомый вектор состояния 139.jpg:

140.jpg,

141.jpg,

где для удобства было введено переобозначение 142.jpg.

    Тогда можем записать:

143.jpg,

144.jpg

    Запишем матричные уравнения для этого случая:

118.jpg

146.jpg

104.jpg,

133.jpg,

106.jpg.

Распишем здесь в уравнении вектор 150.jpg:

151.jpg,

152.jpg.

Для обеспечения негромоздкости введем обозначение:

153.jpg.

Тогда уравнение

133.jpg

примет вид:

155.jpg.

Для удобства переставим слагаемые в матричных уравнениях, чтобы итоговая система линейных алгебраических уравнений записывалась очевидно:

146.jpg

157.jpg,

158.jpg,

112.jpg.

    Таким образом, получаем итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

160.jpg.

    Если к шпангоуту приложено внешнее силовое-моментное воздействие 161.jpg, то

134.jpg следует переписать в виде 163.jpg, тогда:

164.jpg.

Тогда матричное уравнение

151.jpg

примет вид:

166.jpg,

167.jpg.

    Итоговая система линейных алгебраических уравнений примет вид:

168.jpg.

 

5. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора, состоящие из конкретных физических параметров.

    Рассмотрим случай, когда части оболочечной конструкции и шпангоут выражаются через вектора состояния (типа 169.jpg), которые (в частном случае) совпадают с векторами физических параметров (типа 170.jpg- перемещения, угол, силы, момент). Тогда матрицы типа 84.jpg будут единичными: 172.jpg. И пусть положительные направления физических параметров одинаковы для всех частей оболочки и шпангоута (173.jpg).

Тогда будем иметь уравнения:

83.jpg,

175.jpg,

89.jpg,

в виде:

177.jpg,

178.jpg,

179.jpg,

где E – единичная матрица.

    Уравнения

133.jpg,

181.jpg,

141.jpg,

143.jpg,

184.jpg,

    примут вид:

185.jpg,

186.jpg,

187.jpg,

188.jpg,

189.jpg.

    А уравнения

166.jpg,

167.jpg.

примут вид:

192.jpg,

193.jpg, где 194.jpg

    Итоговая система линейных алгебраических уравнений

168.jpg

примет вид:

196.jpg,

где 197.jpg.

 

    Это означает, что уравнение

193.jpg

принимает вид:

199.jpg

200.jpg

201.jpg, (нет скачка в перемещениях и угле) и

202.jpg - равновесие шпангоута,

то есть:

203.jpg (перемещения и угол: нет разрыва)

204.jpg, где 205.jpg(силы и момент: равновесие).

 


Информация о реферате «Методы решения краевых задач, в том числе «жестких»»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11612
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие материалы

Скачать
32594
0
1

... D2 ∙ c = p. Отсюда получаем, что: c = D2 ∙ ( p - D1∙ u ) Таким образом, искомые константы найдены. Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач. Запишем V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p. совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим: V∙ K(1←x2) ∙ K(x2&# ...

Скачать
321825
2
0

... кадрами и т.д. и т.п., иными словами – совер-; Шенствовать системы и процессы государственного управления, восо-|бенности осуществляемого органами исполнительной власти. '. Развитие науки административного права немыслимо без изучения ее истории, ранее применявшегося законодательства, существовавших.Концепций по соответствующим проблемам. Российская наука адми-•нистративного права – одна из первых ...

Скачать
191085
5
33

... Architect, Visible Analyst Workbench, EasyCASE), так и новые версии и модификации перечисленных систем. 3     Глава. Разработка концептуальной модели информационной системы для поддержки принятия управленческих решений при формировании маркетинговой стратегии региона Процесс создания и внедрения любой ИС принято разделять на четыре последовательные фазы: анализ, глобальное проектирование ( ...

Скачать
822830
27
10

... . 4. Какие основные факторы нужно определить прежде, чем формировать инвестиционный портфель клиента? 5. Опишите простую структуру инвестиционного портфеля. ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ В РОССИИ И ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рынок ценных бумаг в России начал свое формирование в первой половине 1991 г. после принятия известного Постановления Совета министров РСФСР ¹ 601 от 25 ...

Скачать
60809
0
1

... общегосударственный подход в организации работы с несовершеннолетними группы риска, определены субъекты социальной и профилактической работы. В Федеральном законе "Об основах системы профилактики безнадзорности и правонарушений несовершеннолетних" [ФЗ № 120] определены группы детей – объектов профилактической работы, а именно: Безнадзорный - несовершеннолетний, контроль за поведением которого ...

0 комментариев


Наверх