Навигация
2. Циссоида Диокла
2.1 Определение и построение
На отрезке OA = 2a, как на диаметре, строим окружность C (рис.3) и проводим через A касательную UV. Через O проводим произвольную прямую OF, пересекающую UV в точке F; эта прямая пересечет (вторично) окружность C в точке E. На прямой OF от точки F по направлению к O откладываем отрезок FM, равный хорде OE.
Линия, описываемая точкой M при вращении OF около O, называется циссоидой Диокла – по имени греческого ученого 2 века до н.э., который ввел эту линию для графического решения задачи об удвоении куба.
Особенности формы. Циссоида симметрична относительно OA, проходит через точки B, D и имеет асимптоту UV (x = 2a); O – точка возврата (радиус кривизны RO = O).
Построение касательной. Чтобы построить касательную к циссоиде в ее точке M, проводим MP
OM. Пусть Q, P – точки пересечения MP с прямыми OX, OY. От точки P на продолжении отрезка QP откладываем отрезок PK = PQ. Строим KN
MO и ONQP. Точку N пересечения KN и ON соединяем с M. Прямая MN – нормаль к циссоиде. Искомая касательная MT перпендикулярна MN.
2.2 Исторические сведения
Диокл определял циссоиду с помощью другого построения. Он проводил диаметр BD, перпендикулярный OA; точка M получалась в пересечении хорды OE с прямой GG̕ BD, проведенной через точку G, симметричную с E относительно BD. Поэтому линия Диокла располагалась целиком внутри круга C. Она состояла из дуг OB и OD. Если замкнуть линию BOD полуокружностью BAD, описанной точкой E, получается фигура, напоминающая лист плюща. Отсюда название «циссоида».
Примерно в 1640 г. Роберваль, а позднее Р. де Слюз заметили, что циссоида неограниченно продолжается и за пределы окружности, если точка E описывает и другую полуокружность BOD; тогда M лежит на продолжении хорды OE. Однако наименование «циссоида Слюза», предложенное Гюйгенсом, не утвердилось в литературе.
2.3 Площадь S полосы
заключенной между циссоидой и ее асимптотой (эта полоса простирается в бесконечность), конечна; она втрое больше площади производящего круга C:
.
2.4 Объем V тела вращения
вышеупомянутой полосы около асимптоты UV равен объему V̕ тела вращения круга C около той же оси (Слюз):
.
При вращении той же полосы около оси симметрии получается тело бесконечного объема.
2.5 Задача
Дана циссоида Диокла с полюсом в точке O, осью OA и параметром 2a. Приняв точку O за полюс, а ось кривой за ось полярной системы, вывести уравнение кривой в полярных координатах. Записать уравнение кривой в прямоугольной декартовой системе координат.
Решение:
Пусть O – начало координат, OX – ось абсцисс. Тогда уравнение в прямоугольной системе координат:
.
Если O – полюс и OX – полярная ось, то уравнение в полярных координаты будет иметь вид:
.
3. Декартов лист
3.1 Исторические сведения
В 1638 г. Р. Декарт, чтобы опровергнуть (неверно им понятое) правило П. Ферма для нахождения касательных, предложил Ферма найти касательную к линии 
. При обычном для нас толковании отрицательных координат эта линия, которую в 18 веке стали называть декартовым листом, состоит из петли OBAC (рис.4) и двух бесконечных ветвей (OI, OL).
Но в таком виде ее представил впервые Х. Гюйгенс (в 1692 г.). До этого линию представляли в виде четырех лепестков (один из них OBAC), симметрично расположенных в четырех координатных углах. Поэтому ее называли «цветком жасмина».
3.2 Построение
Чтобы построить декартов лист с диаметром петли 
проведем окружность A радиуса 
и какую-либо прямую GH, параллельную AO. Далее проведем прямые AA̕ и OE, перпендикулярные AO, и отметим точки A̕, E их пересечения с GH. Наконец, отложим на луче OA отрезок OF = 3OA и проведем прямую FE. Теперь искомая линия строится по точкам следующим образом.
Через O проводим любую прямую ON и через точку N, где эта прямая пересекает (вторично) окружность, проводим NQAA̕. Точку Q, где NQ пересекает прямую OF соединяем с A̕ и отмечаем точку K, где QA̕ пересекает FE. Проводим прямую AK до пересечения с прямой GH в точке Q̕. Наконец, откладываем на прямой OA отрезок OP, равный и равнонаправленный с отрезком A̕Q̕. Прямая M1M2, проведенная через P параллельно AA̕, пересечет прямую ON в точке M1. Эта точка (а также точка M2, симметричная ей относительно AO), принадлежит искомой линии.
Когда точка N, исходя из O, описывает окружность A против часовой стрелки, точка M1 описывает траекторию LOCABOI.
Похожие работы
... этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (Рис. 13). Теорема Паскаля Б. Паскалю (1623—1662) не было еще и 17 лет, когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений. Об его открытии математикам поведала афиша, отпечатанная в количестве 50 экземпляров; только два из них дошли до нашего времени. Несколько таких афиш были расклеены на стенах домов и церквей ...
... , повысить интерес к учению; 3) углубить знания, полученные на уроках математики. Ход занятия I. Организационный момент II. Основная часть 1) Лекция об истории изучения плоских кривых [см. гл. I § 1] 2) Задание Ребята, разгадаем с вами кроссворд: ПАСКАЛЬ ПАПИРУС АПОЛЛОНИЙ РОБЕРВАЛЬ АРХИМЕД ГЕОМЕТРИЯ По горизонтали 1. Учёный, считавший, что дуга спирали ...
... различных видах деятельности; • развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников; • формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач; • ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и ...
... , поскольку точки М и М’ входят в формулу равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно. 1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’. По формуле скалярного произведения векторов . Коллинеарность точек S, M и ...
0 комментариев