Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги

 


1. Системи масового обслуговування з очікуванням

Багатоканальні СМО з обмеженою чергою. Нехай є система СМО, що має  каналів. Кожна заявка надходить до СМО, починає обслуговуватись, коли хоча б один із каналів вільний. Якщо усі канали зайняті, тоді заявка потрапляє у накопичувач, де чекає звільнення хоча б одного із каналів. Нехай черга у накопичувачі обмежена числом . Якщо, один із каналів звільняється, заявка надходить на обслуговування до звільненого каналу по черзі, з якою заявка надійшла у СМО. Якщо заявка застане усі канали і усі місця у накопичувачі зайнятими, то вона втрачається. Потім припускатимемо, що вхідний потік заявок також пуассонівського з параметром , а потік обслугованих заявок також пуассонівський с параметром . Тоді система може знаходитись у станах  Причому  – це стани, коли немає черги, тобто відповідно  – всі канали вільні,  – один зайнятий, … ,  – усі  каналів зайняті,  - усі канали зайняті і одна заявка в черзі, … ,  – стан, коли всі  каналів і всі  місць у накопичувачі зайняті, тобто заявка, що надходить в такий момент втрачається. Можна графічно на рис. (1) стрілками вказати усі переходи від стану до стану, а над стрілками ймовірності переходів за час , якщо  малий.

Рисунок 1


Якщо порівняти СМО з відмовами і СМО з обмеженою чергою, то зрозуміло, що для ймовірностей переходу , коли , ми одержуємо такі ж диференціальні рівняння як і рівняння системи без черги.

Отже потрібно скласти рівняння для перехідних ймовірностей, коли .

Нехай . Враховуючи властивості простіших потоків і формулу Смолуховського-Чепмена

,(1)

де  – функція що задовольняє умові .

, (2)

, (3)

де як і раніше  число заявок, що надходять до СМО за час ,
а  – число заявок, що обслуговані за час .

 (4)

Тепер врахуємо (2), (3 і (4) до (1)

Віднімемо від обох частин останньої рівності  та розділимо на

Перейдемо до границі в обох частинах, коли

(5)

Тепер, продовжуючи аналогічні міркування, можна одержати рівняння для обчислення перехідних ймовірностей із стану до стану, коли , де

Враховуючи формулу Смолуховського-Чепмена, а також властивості простішого (пуассонівського) потоку можна записати:

 (6)

Далі за властивістю стаціонарності і ординарності, маємо:

, (7)


, (8)

. (9)

Врахуємо (7), (8) і (9) до (6).

В останній рівності віднімемо від обох частин  і розділимо на .

 

 

А тепер перейдемо до границі в обох частинах, коли , тоді

(10)

де .

Останнє рівняння системи, для визначення перехідних ймовірностей , містить :

Враховуючи ті ж самі властивості стаціонарності і ординарності простіших (пуассонівських) потоків, одержимо:


, (11)

. (12)

Якщо підставити (11) і (12) у рівність (10), тоді матимемо:

.

Якщо відняти від обох частин останньої рівності , а далі розділити на , тоді запишемо

Тепер обчислимо границі від обох частин, якщо :

(13)

Таким чином отримуємо систему диференціальних рівнянь для обчислення  – ймовірностей переходу від стану  до стану  СМО з чергою, що має скінченне число місць в накопичувачі:


(14)

Якщо спостерігати СМО достатньо довгий час , тоді розв’язок системи (14) можна знайти, якщо позначити  (фінальні ймовірності) у вигляді:

 (15)

Система (15) є лінійною, однорідною, алгебраїчною системою з невідомими . Для того, щоб знайти єдиний розв’язок системи (15) необхідно додати умову

.(16)

Раніше було доведено, що для усіх  діє формула:

, де  

Тепер розглянемо -е рівняння системи (15) і обчислимо ,

.

Отже, одержали зв’язок  і

 де (17)

Нехай формула (17) є правильною для . Необхідно довести, що вона правильна і для . Для цього із системи (15) візьмемо рівняння з номером , отже

,

тобто

.(18)

Тепер потрібно перевірити, що (18) правильна і для . Для цього необхідно взяти останнє рівняння системи (15), з нього маємо

.(19)

Таким чином, якщо порівняти (18) і (19), можна записати:

 .(20)

Отже, , звідки можна знайти , тобто, якщо врахувати формулу суми геометричної прогресії ,

(21)



Информация о работе «Системи масового обслуговування з очікуванням без обмеження на довжину черги»
Раздел: Коммуникации и связь
Количество знаков с пробелами: 8622
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
93795
7
8

... , визначення основних характеристик одноканальних систем масового обслуговування вимагає великої обчислювальної роботи, в зв’язку з чим всі розрахунки робляться на комп’ютері. 1.2 Побудова моделей задач масового обслуговування (на прикладі роботи обчислювального центру (ОЦ)) 1.2.1 Модель для імітації виробничої діяльності ОЦ 1.2.1.1 Завдання Розробити модель для імітації виробничої ді ...

Скачать
367716
10
48

... В АБС АКБ «ПРОМІНВЕСТБАНК» ТА ОЦІНКА РІВНЯ ВРАЗЛИВОСТІ БАНКІВСЬКОЇ ІНФОРМАЦІЇ 3.1 Постановка алгоритму задачі формування та опис елементів матриці контролю комплексної системи захисту інформації (КСЗІ) інформаційних об’єктів комерційного банку В дипломному дослідженні матриця контролю стану побудови та експлуатації комплексної системи захисту інформації в комерційному банку представлена у вигляді ...

Скачать
46640
1
6

... кування. Якщо запит містить параметри змінної довжини, то доступ до сховища здійснюється тим користувальницьким процесом, який безпосередньо обслуговує запит.   2. Прозоре обслуговування системних викликів Механізм системних викликів в процесорах сімейства x86 може бути реалізований різними способами. Історично для цього використовувалися програмні переривання (інструкція INTn), зокрема, в ...

Скачать
18024
1
6

... (SDP, SMP, SMAP і SCEP) не розглядається, оскільки вони не пов'язані з вузлами базової ТМЗК, а способи їхньої реалізації та взаємодії безпосередньо не впливають на останню. 2 Розрахунок часових затримок повідомлень в інтелектуальній надбудові Затримки під час надання послуг IN порівняно з традиційним телефонним з’єднанням зростають через необхідність обміну службовою інформацією між вузлами ...

0 комментариев

Наверх