Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Министерство науки и образования РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра экономической информатики

Курс: "Численные методы" Пояснительная записка к курсовой работе на тему "Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений"

Факультет: Бизнеса

Преподаватель: Сарычева О. М.


Новосибирск, 2010


Содержание

1. Введение

2. Математическая постановка задачи и описание метода

3. Описание программного обеспечения

3.1 Общие сведения

3.2 Функциональное назначение программы

3.3 Вызов и загрузка программы

3.4 Входные данные

3.5 Выходные данные

3.6 Описание алгоритмов

3.6.1 Программный модуль metod1.m

3.6.2 Программный модуль metod2.m

3.7 Используемые программные и технические средства

4. Описание тестовых задач

5. Анализ результатов счета, выводы

6. Заключение

Приложения

Список литературы

 


1. Введение

В данной курсовой работе необходимо рассмотреть один из множества существующих итерационных методов - метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Прежде чем говорить о вышеуказанном методе, дадим краткую характеристику вообще итерационным методам.

Итерационные методы дают возможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следующее, более точное приближение. Привлекательной чертой таких методов является их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Если в точных методах ошибка в вычислениях, когда она не компенсируется случайно другими ошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то в случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении исправляется в последующих вычислениях, и такое исправление требует, как правило, только нескольких лишних шагов единообразных вычислений. Итерационный метод, для того чтобы начать по нему вычисления, требует знания одного или нескольких начальных приближений к решению.

Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.


2. Математическая постановка задачи и описание метода

 

2.1 Математическая постановка задачи

Исследовать метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений, а именно: влияние способа перехода от системы F(x)=x к системе x=(x) на точность полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, число операций.

2.2 Описание метода

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в виде Ax=b (2.2.1).

Пусть (2.2.1.) приведена каким-либо образом к виду x=Cx+f (2.2.2), где C - некоторая матрица, f - вектор-столбец. Исходя из произвольного вектора

x01

x( 0 )= x02

x03

строим итерационный процесс x( k+1 )=Cx( k )+f (k=0,1,2,3,…) или в развернутой форме


x1 ( k+1 ) = c11 x1( k ) + c12 x2( k ) + …+ c1n xn( k ) + f1 , (2.2.3)

xn ( k+1 ) = cn1 x1( k ) + cn2 x2( k ) + …+ 1nn xn( k ) + fn .

Производя итерации, получим последовательность векторов x( 1 ), x( 2),…, x( k ),… Доказано, что если элементы матрицы C удовлетворяют одному из условий


 (i=1,2,…,n) (2.2.4)

 (j=1,2,…,n) (2.2.5),

то процесс итерации сходится к точному решению системы x при любом начальном векторе x(0), то есть

x=x( k ) .

Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x(k) из полученной последовательности является приближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x(k) дается одной из следующих формул:

| xi- xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.4')

если выполнено условие (2.2.4), или

| xi- xi( k ) |  | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.5')

если выполнено условие (2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:

max | xi- xi( k ) | | xi( k ) - xi( k -1 )|, (2.2.4'')


или

| xi- xi( k ) |  | xi( k ) - xi( k -1 )|. (2.2.5'')

Процесс итераций заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.

Начальный вектор x( 0 ) может быть выбран, вообще говоря, произвольно. Иногда берут x( 0 )=f. Однако, наиболее целесообразно в качестве компонент вектора x( 0 ) взять приближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой.

Приведение системы (2.2.1) к виду (2.2.2) можно осуществить различными способами. Важно только, чтобы выполнялось одно из условий (2.2.4) или (2.2.5). Ограничимся рассмотрением двух таких способов.

Первый способ. Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, то есть

aii0 ( i=1,2,…,n),

то систему (2.2.1) можно записать в виде

x1= (b1 - a12 x2 - … - a1n xn ),

x2= (b2 - a21 x1 - a23 x3 -… - a2n xn ), (2.2.6)

xn= (bn - an1 x1 - … - an n-1 xn-1 ).

В этом случае элементы матрицы С определяются следующим образом:

 (ij), cii=0,


и тогда условия (2.2.4) и (2.2.5) соответственно приобретают вид

 (i=1,2,… ,n), (2.2.7)

 (j=1,2,… ,n). (2.2.8)

Неравенства (2.2.7), (2.2.8) будут выполнены, если диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию

 (i=1,2,… ,n), (2.2.9)

то есть если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Второй способ позволяет записать систему (2.2.1) в виде

x1 = b1 - (a11 -1)x1 - a12 x2 - … - a1n xn ,

x2 = b2 - a21 x1 -(a22 -1)x2 -… - a2n xn , (2.2.10)

xn = bn - an1 x1 - an2 x2 -… -(ann -1)xn .

и пояснений не требует.


3. Описание программного обеспечения

 

3.1 Общие сведения

Данное программное обеспечение представлено в виде двух основных программных модулей (файлы metod1.m и metod2.m) и четырех вспомогательных модулей (файлы system_a.m, system_b.m, x0.m и x_ok.m).

3.2 Функциональное назначение программы

Данное программное обеспечение предназначено для решения систем линейных алгебраических уравнений вида Ax=b методом простой итерации.

Программный модуль metod1.m содержит непосредственно алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, использующий первый способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Программный модуль metod2.m также содержит непосредственно алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, но использующий второй способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Вспомогательный модуль system_a.m содержит матрицу А исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль system_b.m содержит столбец b исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль x0.m содержит столбец начального приближения к точному решению исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль x_ok.m содержит столбец точного решения исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Замечание: модули system_a.m, system_b.m, x0.m всегда описывает сам пользователь, работающий с данным программным обеспечением, в зависимости от решаемой системы линейных алгебраических уравнений.

Модуль x_ok.m также может быть описан пользователем, но он не является обязательным, так как точного решения обычно у пользователя нет. Отсутствие данного модуля не влияет на правильность работы программы, он является вспомогательным и необходим лишь для оценки погрешности полученного решения (как этого требует задание), но что обычно не нужно в прикладном использовании данного программного обеспечения.

3.3 Вызов и загрузка программы

Для вызова программы на выполнение необходимо загрузить программу MatLab 3.5f (и выше), затем в командной строке данной среды набрать имя одного из программных модулей (metod1.m или metod2.m).

3.4 Входные данные

1. system_а - матрица А исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающаяся из модуля system_а.m;

2. system_b - столбец b исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающийся из модуля system_b.m;

3. x0 - столбец начальных приближений, считывающийся из модуля x0.m;

4. x_ok - столбец точного решения исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающийся из модуля x_ok.m.

Замечание: если отсутствует модуль x_ok.m, то переменная x_ok не передается в основные программные модули.


3.5 Выходные данные

Выходными данными программных модулей metod1.m и metod2.m является файл total - файл-отчет, содержащий результаты одного или нескольких итерационных процессов, а именно: полученные решения, погрешности полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, число операций.


Информация о работе «Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 24924
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 20

Похожие работы

Скачать
20676
0
0

... 1.2 0.4 -0.8 -0.8 3.6 4 4.7 10.4 9.7 9.7 -8.4Результат вычислений по методу Гаусса x1 = 5.0000000000E+00 x2 = -4.0000000000E+00 x3 = 3.0000000000E+00 x4 = -2.0000000000E+00 2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя 2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = ...

Скачать
20755
0
0

... 10.4 9.7 9.7 -8.4 Результат вычислений по методу Гаусса x1 = 5.0000000000E+00 x2 = -4.0000000000E+00 x3 = 3.0000000000E+00 x4 = -2.0000000000E+00 2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя 2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 , a21x2 + ...

Скачать
14674
0
13

... 1040, мы все еще получаем сходимость, при количестве итераций порядка 130.   4 Анализ результатов, выводы Целью нашего исследование было сравнение методов простой итерации и Ньютона для решения систем из двух нелинейных уравнений по числу итераций, времени сходимости в зависимости от выбора начального приближения к решению и допустимой ошибки. Зависимость этих параметров от выбора начального ...

Скачать
14116
3
1

... конкретной задаче (анализ)   Составляя задачи на языке программирования Borland C++ Builder 6 для реализации точных методов решения СЛАУ я учитывал разное количество уравнений в системе (размерность матрицы задавал равным nxn). Но для проверки результатов использовал систему уравнений: Вообще говоря, процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, ...

0 комментариев


Наверх