Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Курсова робота: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат


Зміст

Розділ 1

1. Упорядковані множини

2. Ґрати

3. Дистрибутивні ґрати

4. Топологічні простори

Розділ 2

1. Верхні напівґрати

2. Стоуновий простір

Висновок

Список літератури

 


Розділ 1

 

1. Упорядковані множини

 

Визначення: Упорядкованою множиною  називається непуста множина, на якої визначене бінарне відношення , що задовольняє для всіх  наступним умовам:

1. Рефлективність: .

2. Антисиметричність: якщо  й , те .

3. Транзитивність: якщо  й , те .

Якщо  й , то говорять, що  менше  або  більше , і пишуть  або .

Приклади впорядкованих множин:

Множина цілих позитивних чисел, а  означає, що  ділить .

Множина всіх дійсних функцій  на відрізку  й

 означає, що  для .

Визначення: Ланцюгом називається впорядкована множина, на якої для  має місце  або .

Використовуючи відношення порядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядковання множини . Зобразимо кожний елемент множини  у вигляді невеликого кружка, розташовуючи  вище , якщо . З'єднаємо  й  відрізком. Отримана фігура називається діаграмою впорядкованої множини .

Приклади діаграм упорядкованих множин:


2. Ґрати

 

Визначення: Верхньою гранню підмножини  в упорядкованій множині  називається елемент  із  , більший або рівний усіх  з .

Визначення: Точна верхня грань підмножини  впорядкованої множини  – це така іі верхня грань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом  і читається «супремум X».

Відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.

Поняття нижньої грані й точної грані (яка позначається  й читається «інфинум»). Також, відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижня грань  існує, то вона єдина.

Визначення: Ґратами  називається впорядкована множина , у якому будь-які два елементи  й  мають точну нижню грань, позначувану , і точну верхню грань, позначувану .

Приклади ґрат:

1. Будь-який ланцюг є ґратами, тому що  збігається з меншим, а  з більшим з елементів .

2.

Найбільший елемент, тобто елемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають , а найменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають .

На ґратах можна розглядати дві бінарні операції:

 - додавання й

 - добуток

Ці операції мають наступні властивості:

1. ,  ідемпотентність

2. ,  комутативність

3. ,

 асоціативність

4. ,

 закони поглинання

Теорема. Нехай  - множина із двома бінарними операціями , що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення  (або ) є порядком на , а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:

 

Доказ.

Рефлективність відносини  випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):

Якщо  й , тобто  й , те в силу властивості (2), одержимо . Це означає, що відношення  антисиметричне.

Якщо  й , то застосовуючи властивість (3), одержимо: , що доводить транзитивність відносини .

Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:


,

.

Отже,  і

Якщо  й , то використовуючи властивості (1) – (3), маємо:

, тобто

По визначенню верхньої грані переконаємося, що

Із властивостей (2), (4) випливає, що  й

Якщо  й , то по властивостях (3), (4) одержимо:

Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що

, тобто

Таким чином, . :

Нехай  ґрати, тоді її найбільший елемент  характеризуються одним із властивостей:

1.

2..

Аналогічно характеризується найменший елемент :

1.

2..



Информация о работе «Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 13960
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
75328
1
4

... ЄТЬСЯ, що Одкровення було записано близько 66 року н.е. і, імовірно, доповнене Іоанном згодом через 30 років. З тих пір не проходило жодного століття (а в наш час і жодного року) без нових досліджень і тлумачень цього пророцтва. Число разючих збігів із пророкуванням Іоанна в кожнім столітті було велике, іноді навіть доходило до критичної маси, коли віруючі тієї чи інша країни готувалися до "кінця ...

Скачать
192341
49
14

... видів риб та водоплавних та навколоводних птахів. З птахів домінують гусеподібні, сивкоподібні, а також зустрічаються норцеподібні, лелекоподібні, журавлеподібні і горобцеподібні. Розділ 4. Проектування екологічних мереж Ратнівського району 4.1 Загальні поняття Сучасна стратегія охорони природи полягає у забезпеченні динамічної екологічної рівноваги окремих регіонів, пошуку різноманітних ...

0 комментариев


Наверх