Локальна компактність

4. Локальна компактність.

Лема 5.3. W( ) компактно тоді й тільки тоді, коли  не є граничним ординальним числом.

Доказ.

Необхідність. Будемо доводити методом від противного й припустимо, що  - граничне ординальне число. Розглянемо множину «хвостів», тобто множина виду W( )\W( ) = {x W( ):

x }, де – деяке ординальне число: . Це замкнуті множини. Очевидно, що перетинання кінцевого числа «хвостів» є «хвостом», тобто не порожньо. Таким чином, «хвости» утворять центровану систему замкнутих множин. Тому що  - граничне ординальне число, то перетинання всіх множин цього сімейства порожньо й, отже, W( ) не компактно - протиріччя. Отже,  - не є граничним ординальним числом.

Достатність. Проведемо доказ по індукції:

1.W(0) = ( - очевидно компактно.

2. Індукційне припущення: нехай ’ = +1 – не граничне ординальне число. Припустимо, що W( ) компактно для будь-якого < +1.

Нехай  - сімейство відкритих множин, що утворять покриття простору W( +1). Тому що крапка  покрита, то існує U , < : [ +1; ] U . По індукційному припущенню простір W( +1), що є підпростором W( +1), компактно, тому що +1< +1. Тому кінцева підродина F з  покриває W( +1). Тоді F {U} – це кінцеве підпокриття з , що покриває W( +1). Отже, W( +1) компактно. :

Із цієї леми треба, що простір W( 1) не є компактним, тому що 1 - граничне ординальне число.

Пропозиція 5.4. Простір W( 1) локально компактно.

Доказ.

Візьмемо довільну крапку  з W( 1). Тому що W( 1), те < 1 і +1< 1 (тому що 1 – граничне ординальне число). Отже, +1 не є граничним ординальним числом. Як околиця крапки  візьмемо відкрито-замкнуту множину U( ) = { |

 < +1} = { | } = W( +1) – компактно (по лемі 5.3) і містить крапку . Отже, W( 1) локально компактно. :

5. Рахункові множини в W( 1).

Визначення 2.11. Множина А називається кофинальним в W( ), якщо воно не обмежено зверху, тобто ( ) ( ).

Пропозиція 5.5. Жодне рахункова множина в W( 1) не кофинальне.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в W( 1) існує рахункове кофинальна множина S.

Доведемо, що W( 1) = :

 Очевидно, що W( ) W( 1) для будь-якого S W( 1).

 Доведемо, що W( 1).

Нехай W( 1). Тому що S кофинальне, то існує S: . Отже, W( ) .

Таким чином, W( 1) = .

Помітимо, що |W( 1)| = 1. Тоді 1 |S| 0. Отже, |S|= 1, чого бути не може, тому що S – рахункова множина. :