Абсолютна та відносна похибка

Міністерство освіти і науки України

Національний університет львівська політехніка

Інститут Комп’ютерних наук та інформаційних технологій

Кафедра автоматизованих систем управління

Лабораторна робота №1

з дисципліни: Математичні методи представлення знань

на тему: Абсолютна та відносна похибка

Львів – 2011

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Порядок роботи:

1. Створити проект для виконання індивідуального завдання.

2. Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком:

·  назва роботи;

·  мета роботи;

·  порядок роботи;

·  короткі теоретичні відомості;

·  алгоритм побудови розв’язку задачі;

·  тексти відповідних модулів проекту;

аналіз отриманих результатів та висновки. Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ ≤ , (1)

де ат – перша значуща цифра числа а .

Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1

є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо

∆= | А – а |≤ · 10m – n + 1.

Звідси

- · 10m – n + 1 ≤ А – а ≤ · 10m – n + 1 .

Тому

А ≥ а - · 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m - · 10m – n + 1

А ≥ · 10m. (2)

Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому

А ≥ · 10m≥ · 10m (2аm - 1).

Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm , то

А ≥  аm · 10m.

δ = ,

або

δ ≤ .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =  (3)

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти

δa = .

Справді, якщо п>2, то числом  у нерівності (4.1) можна знехтувати. Тоді

А ≥ · 10m ·2аm = аm · 10m.

Тому

δ = .

Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а = 3,14 , що замінює точне число А = π?

Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2

δa =% .

Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти , щоб відносна похибка була не більшою за 0,1% ?

Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:

Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ =  (4)

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр?

Оскільки

∆ = δ a = 76,54 < · 103,

то число а має лише одну точну цифру.

Похибки арифметичних операцій