Навигация
Перетворення матриці оператора при заміні базису
26324
знака
0
таблиц
5
изображений
4. Перетворення матриці оператора при заміні базису
Нехай у просторі 
обрані два базиси 
і 
. Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів 
у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці
.
Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори лінійно незалежні, тому 
і, звісно, матриця 
не вироджена.
Згідно сказаному
(4.1)
Ці формули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд
,
де 
– транспонована матриця 
.
Теорема 4.1. Матриці 
і 
оператора 
в базисах і зв’язані співвідношеннями
,
,
де – матриця переходу від старого базису до нового .
Доведення. За означенням матриці оператора
,
де 
і 
– елементи матриць і . Замінимо в останній рівності вектори згідно формулам (4.1), отримаємо
(4.2)
З іншого боку
Але
Тому
(4.3)
Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що
У цій рівності вектори лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,
, 
Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність 
. Якщо помножити обидві частини цієї рівності на 
праворуч, то отримаємо , якщо помножити на 
злів, то будемо мати . Теорему доведено.
Матриці 
і 
одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю 
того ж порядку, що 
. Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць і рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати
.
Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора називають число 
, рівне визначнику матриці оператора в якому-небудь базисі простору.
Приклад. Лінійний оператор діє на вектори базису наступним чином: 
. Знайти визначник оператора .
Розв’язок. Матриця оператора у базисі має вигляд
,
тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і 
.
Похожие работы
... В АБС АКБ «ПРОМІНВЕСТБАНК» ТА ОЦІНКА РІВНЯ ВРАЗЛИВОСТІ БАНКІВСЬКОЇ ІНФОРМАЦІЇ 3.1 Постановка алгоритму задачі формування та опис елементів матриці контролю комплексної системи захисту інформації (КСЗІ) інформаційних об’єктів комерційного банку В дипломному дослідженні матриця контролю стану побудови та експлуатації комплексної системи захисту інформації в комерційному банку представлена у вигляді ...
... і над плановим. Відомо, що собівартість є одним з головних джерел резервів підвищення ефективності роботи підприємства. Звідси сформуємо мету і задачі даної роботи. Метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ВАТ «Дніпрополімермаш» шляхом управління собівартістю продукції. Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 1. Проаналізувати ...
... в даній роботі, була опробована й досліджена в реальних умовах моєї професійної діяльності й показала свою працездатність і ефективність. 3. Розробка системи керування та актуалізації інформації web-сайту національного оператора Енергоринка 3.1 Вибір інструментарію для створення web-сайту та системи керування Перед тим, як безпосередньо перейти до створення Web-сайту Національного ...
... маржі В такому випадку, макимізація прибутку відбувається за рахунок швидкого обороту коштів. Запропонований метод було прийнято як альтернативний метод визначення умов надання банківських послуг в Дніпропетровській філії АБ "Правексбанк", що дозволило збільшити фінансовий результат за перші 5 місяців 2008 року на 6 процентів. 4. АВТОМАТИЗОВАНА ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА Рис. 4.1 – Блок- ...
0 комментариев