Заміна змінних в потрійному інтегралі

3. Заміна змінних в потрійному інтегралі

 

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область  взаємно однозначно відображується на область  за допомогою неперервно диференційовних функцій , , , якобіан  в області  не дорівнює нулю:

і  – неперервна в , то справедлива формула

. (8)

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат  до циліндричних  (рис.4, а), пов'язаних з співвідношеннями

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

.(9)

Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня  є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .

При переході від прямокутних координат  до сферичних  

(рис. 4, б), які пов'язані з  формулами

Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня  є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь  та , які обмежують область , записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область  обмежена циліндричною поверхнею  та площинами , то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли  – куля:  або кульове кільце. Наприклад, якщо  – кульове кільце з внутрішньою сферою , то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд

або

,

звідки . Аналогічно  – рівняння зовнішньої сфери, тому

.

У випадку, коли  – куля , у цій формулі слід покласти . Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.

Приклад

1. Обчислити інтеграл , якщо область  обмежена поверхнями  і .

Розв’язання

Область  є конусом (рис. 5).

Рисунок 5 – Область

Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область , можна записати у вигляді , а саму область  подати таким чином: , де  – круг радіуса  з центром . Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:

.

Проте зручніше перейти до циліндричних координат . Тоді прообраз круга  є прямокутник , прообраз конічної поверхні – плоска поверхня , а прообраз області  – область . Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює , підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю  до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо

Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область , а зміну циліндричних координат в області . Наочно видно, що в області  змінна  змінюється від  до , при кожному значенні  змінна  змінюється від  до , а для кожної точки  області  змінна  змінюється в області  від  (значення  в області ) до  (значення  на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійний обчислення змінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю , що має об'єм , то згідно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механіці. Нехай  – обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де  – неперервна функція в області , тоді:

а)маса цього тіла

;(12)

б)моменти інерції  тіла відносно координатних осей  відповідно дорівнюють

. (13)

Моменти інерції  тіла відносно координатних площин  обчислюються за формулами

.(14)

Момент інерції тіла відносно початку координат

(15)

в) статичні моменти тіла відносно координатних площин  обчислюються за формулами

;(16)

г) координати  центра маси тіла визначаються за формулами

. (17)

Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:

.