Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация



ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ


1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості

Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.

Нехай функція  визначена в обмеженій замкненій області . Розіб'ємо область  сіткою поверхонь на  частин , які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють . У кожній частині  візьмемо довільну точку  і утворимо суму

,(1)

яка називається інтегральною сумою для функції  за областю . Нехай  – найбільший з діаметрів областей .

Якщо інтегральна сума (1) при  має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області  на частини , ні від вибору в них точок , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:

 або .

Таким чином, за означенням

,(2)


де  – функція, інтегровна в області ;  – область інтегрування;  і – змінні інтегрування;  (або ) – елемент об'єму.

Якщо по тілу  розподілено масу з об'ємною густиною  в точці , то маса  цього тіла знаходиться за формулою

. (3)

Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти , то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму  тіла :

.(4)

Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.

Властивості потрійних інтегралів.

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:

.


Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:

.

3. Якщо в області інтегрування , то

.

4. Якщо функції  та  визначені в одній і тій самій області  і , то

.

5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування  функції  розбити на частини  і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то

,


де  і  відповідно найменше і найбільше значення функції  в області .

7. (Середнє значення функції.) Якщо функція  неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то в цій області існує така точка , що

.

Величина

називається середнім значенням функції  в області .

 


Информация о работе «Потрійний інтеграл»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 8512
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
10798
0
7

... йного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох звичайних визначених інтегралів. Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при  функція . Тоді, згідно з формулою (7), подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис.3) з основою , обмеженого зверху поверхнею . Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів [6]: , де  - площа перерізу тіла ...

Скачать
11969
0
10

... ія поверхні  на координатну площину де  – елемент площі поверхні  – кути між нормаллю до поверхні  та осями  відповідно, то справедливі такі формули: На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто .(8) Якщо, наприклад, вектор  є швидкістю рідини, то кількість  рідини, яка протікає через поверхню  за одиницю часу, називається потоком вектора   ...

Скачать
7761
0
9

... Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області  функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).   3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки 1. Маса пластини. Нехай на площині  маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначає ...

Скачать
124946
0
33

... слабо, лічильник Гейгера реєструє лише невелике число минулих через нього фотонів. Тому ефективність газонаповнених лічильників до цього випромінювання невелика. Ефективнішими для рентгеноструктурних досліджень рідин є сцинтиляційні лічильники. Вони є поєднанням: а) кристала-сцинтилятора йодного натрію, активованого талієм, б) фотоелектронного помножувача (ФЕП); в) попереднього підсилювача на ...

0 комментариев


Наверх