Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Паралельні проекції

4500
знаков
0
таблиц
6
изображений

Лабораторна №3

Паралельні проекції

Метою разділу є ознайомлення з елементарним математичним апаратом плоских геометричних проекцій. Для простоти будемо вважати, що при центральному проектуванні картинна площина перпендикулярна осі z і збігається з площиною z = d, а при паралельному збігається з площиною z = 0. Проекції розглядаються в системі координат спостерігача, що є лівосторонньою. Система координат, в якій вісь х спрямована вправо, вісь у - вгору, а вісь z - усередину екрана, природньо погоджується з екраном дисплея.

Рис.1 Центральна проекція

Кожну з проекцій можна описати матрицею розміром 4х4. Цей спосіб виявляється зручним, оскільки з'являється можливість об'єднати матрицю проектування з матрицею перетворення, представивши в результаті дві операції (перетворення і проектування) у виді однієї матриці. У цьому розділі ми одержимо матриці розміром 4х4 для декількох проекцій і насамперед для центральної. На рис.1 наведені три зображення лівосторонньої системи координат, у яких точка P проектується на проекційну площину, розташовану на відстані d від початку координат. Для обчислення координат Xр і Yp проекції точки (x, у, z) напишемо співвідношения, отримані з подібності трикутників (рис.1):

Перемножуючи обидві сторони кожного співвідношення на d, одержимо

Відстань d є в даному випадку масштабним множником, застосованим до координат Xp і Yp. Фактором, що приводить до того, що на центральній проекції більш віддалені об'єкти виглядають дрібніше, ніж ближчі, є ділення на z. Відзначимо, що допустимі всі значення z, крім z = 0. Точки можуть розташовуватися як за центром проекції на від’ємній частині осі z, так і між центром проекції і проекційною площиною.

Ці перетворення можна представити у вигляді матриці розміром 4х4:

Множачи точку  на матрицю . отримаємо загальний вираз для точки в однорідних координатах :


геометричний проекція косокутний матриця

Тепер, поділивши на W (що дорівнює z/d) для зворотнього переходу до трьох вимірів, отримаємо

Цей результат є коректним, оскільки містить перетворену z - координату з 1, що відповідає положенню проекційної ПЛОЩИНИ ВЗДОВЖ ОСІ 2.

Рис. 2 Інша схема побудови центральної проекції

При іншому представленні центрального проектування, застосовуваному в деяких роботах, проекційна площина сполучається з площиною 2 = 0, а центр проекції розташовується в точці 2 = - с (рис. 2). З подібності трикутників випливає


Звідси одержуємо

Матриця записується у виді

Цю матрицю можна одержати з матриці  шляхом переносу центра проекції в початок координат, застосування  і зворотнього переносу:

Ортографічне проектування на площину z = 0 очевидне. Напрямок проектування збігається з нормаллю до площини проекції, тобто в нашому випадку з віссю z. Таким чином, точка Р має координати:

Ця проекція описується матрицею


Рис. 3 Косокутна рівнобіжна проекція одиничного куба.

Точка Р' є проекцією точки P (0, 0, 1)

Розглянемо тепер косокутну проекцію, матриця якої може бути записана виходячи зі значень a і l (рис. 3). На рис. 3 зображений одиничний куб, спроектований на xy-площину. З малюнка видно, що проекцією точки P (0, 0, 1), що знаходиться на задній стороні' одиничного куба, є точка Р'(l соsа, l sіnа, 0), що належить площині ху. По визначенню це означає, що напрям проектування збігається з відрізком РР', що проходить через ці дві точки (рис. 4). Цей напрям є Р'-Р= (l соsа, l sina, -1). Напрям проектування складає кут р із площиною ху.

Тепер розглянемо довільну точку x, у, z і визначимо її косокутну проекцію (Хр,Ур) на площину ху. На рис. 5 показані два зображення точки і проектор, що рівнобіжний проектору, приведеному на рис.4. Рівняння для x- і y-координат проектора як функцій z мають вид у=mz+b. Вирішуючи два рівняння относительно Хр і Yр, відзначених на рис.5, одержуємо


Матриця розміром 4х4, що виконує ці дії і, отже, описує косокутну проекцію, має вигляд

Застосування матриці  приведе до зсуву і наступного проектування об'єкта: площини з постійною координатою z = z1 переносяться в напрямку х на z1*l соsa в напрямку y на z1*l sina і потім проектуються на площину z = 0. Зсув зберігає паралельність прямих, а також кути і відстані в площинах, паралельних осі z.

Рис. 4. Косокутна паралельна проекція Р'(l соsа, l sinа, 0) проекцією точки P (0, 0, 1).

Рис. 5 Косокутна паралельна проекція (Xp, Yp, 0) точки (x, y, z).


Для проекції кавальє l=1, тому кут р, показаний на рис.4.17, складає 45°. Для проекції кабіні l=1/2, а b=агtg (2) =63,4°. У випадку ортографічної проекції l = 0 і b = 90°, тому  є окремим випадком .


Информация о работе «Паралельні проекції»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 4500
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
13493
0
10

... не самими коефіцієнтами спотворення, а деякими величинами, їм пропорційними. Ці величини будемо називати приведеними коефіцієнтами спотворення. Відношення між аксонометричними проекціями відрізків, які паралельні осям координат X, Y, Z та самим відрізкам рівні коефіцієнтам KХ = еХ /e, KY = еY /e, KZ = eZ /e. Тому сутність аксонометричного методу полягає в тому, що об’єкт відносять до ...

Скачать
69915
0
0

лощини π0 , має від'ємну числову відмітку; -З - числова відмітка точки В; точка С , яка знаходиться в площні π0 , має числову відмітку, що дорівнює нулю. 4. Площину π0 разом з проекціями точок з числовими відмітками і масштабом сумістимо з площиною креслення /рис. 1.5/. Одержане таким чином креслення називається планом або кресленням у проекціях в числовими відмітками. Планом ...

Скачать
37429
0
53

... , відносно якої геометричний об’єкт займе особливе положення. Замін може бути декілька. Способом заміни площин можна розв’язувати багато позиційних та метричних задач нарисної геометрії. Приклад 2 Визначити натуральну величину відрізка АВ. Рисунок 1.25 – Визначення натуральної величини відрізка способом заміни площин проекцій Для визначення натуральної величини відрізка необхідно ввести ...

Скачать
10101
3
18

... –          зберігання на проекціях, при певних умовах, форми та величини лінійних та кутових розмірів проекціюючих предметів. 2.         Побудова за заданими координатами епюрів прямих, взаємного положення прямих та прямих і точок. Розглянемо просторову модель координатної площини проекцій. Для визначення положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях ...

0 комментариев


Наверх