Навигация
Властивості соленоїдального поля
12525
знаков
0
таблиц
1
изображение
4. Властивості соленоїдального поля
Як відомо, векторне поле 
, яке задовольняє в області 
умову 
, називається соленоїдальним в цій області. Нехай область 
є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня 
лежить в області , то і область, яка обмежує поверхню , цілком належить області . Прикладами об’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор не є поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами, не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).
Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язній області має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільну замкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.
Відзначимо, що, якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в цій області) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бути відмінним від нуля. Так електричне поле 
точкового заряду, який міститься в точці 
, є соленоїдальним в кулі з викинутим центром (
при 
).
Слово «соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливим закон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.
Нехай – соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область, обмежену двома перерізами 
і 
та боковою поверхнею 
, яка складається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскільки в соленоїдальному полі 
, то потік векторного поля через поверхню області дорівнює нулю: 
(
– одиничний вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні маємо 
, тому 
.
Отже,
.
Рисунок 1 – Відрізок «векторної трубки»
Змінимо на перерізі напрям нормалі на протилежний (
– внутрішня нормаль до ). Тоді отримаємо
,
де обидва потоки через перерізи і обчислюються в напрямі векторних ліній.
Таким чином, у соленоїдальному (трубчастому) векторному полі 
потік через будь-який переріз векторної трубки набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереження інтенсивності збереження векторної трубки.
5. Інваріантне означення дивергенції
Нехай в області , обмеженій поверхнею , визначено векторне поле . Запишемо формулу (8) для векторного поля в області . Застосовуючи до лівої частини цієї формули теорему про середнє, отримаємо
або
,
де 
– об’єм області , а 
– деяка точка області .
Зафіксуємо точку 
і стягуватимемо область до точки 
так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді 
, а прямуватиме до . Внаслідок неперервності 
значення 
прямуватиме до 
. Таким чином, отримуємо
. (9)
У праву частину формули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) дає інваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторного поля залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системи координат.
Похожие работы
... випадків, аварій, а з цим і простоїв на підприємстві, укріпити та створити культуру трудової діяльності. Виконання та розробка дипломного проекту “ Розробка дослідження системи керування електроприводом змінного струму дизель-потягу з використанням нейронних мереж ” відбувається за допомогою комп'ютера, тому питання охорони праці розглядаються щодо забезпечення здорових і безпечних умов роботи ...
к джерела електричного поля представляють у виді еквівалентного електричного генератора. Під ним мається на увазі модельна фізична система, що повинна задовольняти двом вимогам: розрахункові потенціали електричного поля еквівалентного генератора в різних крапках організму повинні бути рівні реальним потенціалам; при варіюванні параметрів еквівалентного генератора повинні відбуватися такі ж зміни ...
... О. Костиков, В. Н. Голощапов, Г. К. Вороновский, А. Ю. Козлоков // Енергетика та електрифікація – 2007. – №9. – С. 17 – 21. АНОТАЦІЯ Альохіна С. В. Моделювання теплових процесів в елементах енергетичного обладнання ТЕС та АЄС шляхом розв’язання спряжених задач теплообміну. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.14.06 – технічна теплофі ...
... сути, может приводить к необоснованному пессимизму в оценке практической ценности алгоритмов МГУА. Показано, что реалистичный подход к использованию алгоритмов самоорганизации в задаче синтеза ИТ обработки сигналов, основан на двухэтапном решении задачи. Первый этап предусматривает переход от исходного пространства наблюдений к обоснованному набору потенциально полезных признаков (потенциальных ...
0 комментариев