Навигация
2. Потік векторного поля
Розглянемо векторне поле 
, визначене в просторовій області 
, і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню 
. Нехай 
– поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні 
.
Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл
(5)
називається потоком векторного поля через поверхню в сторону, яка визначається вектором 
(кажуть також «потік через обрану сторону поверхні »).
Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток 
, а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.
Якщо 
– швидкість рухомої рідини, то 
є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню . Тому і у випадку довільного векторного поля інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню .
Розглянемо електричне поле 
точкового заряду 
, який міститься в точці 
. Знайдемо потік векторного поля через зовнішню сторону сфери радіуса 
з центром у точці . Нехай 
(
– точка на сфері ); тоді 
. Тому
,
де 
– діелектрична проникність середовища, 
.
Якщо в системі координат 
, а 
, то вираз (5) для потоку векторного поля можна записати у вигляді
. (6)
Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік 
, очевидно, не залежить від вибору системи координат.
3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області визначено векторне поле ; – замкнена поверхня, яка обмежує область ; 
– одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні у точці .
Нехай, далі, 
та їхні частинні похідні 
неперервні в області . Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:
. (7)
Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є 
, а поверхневий інтеграл – потік векторного поля 
через поверхню . Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:
. (8)
Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля . Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді є відмінною від нуля. Таким чином, характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».
Похожие работы
... випадків, аварій, а з цим і простоїв на підприємстві, укріпити та створити культуру трудової діяльності. Виконання та розробка дипломного проекту “ Розробка дослідження системи керування електроприводом змінного струму дизель-потягу з використанням нейронних мереж ” відбувається за допомогою комп'ютера, тому питання охорони праці розглядаються щодо забезпечення здорових і безпечних умов роботи ...
к джерела електричного поля представляють у виді еквівалентного електричного генератора. Під ним мається на увазі модельна фізична система, що повинна задовольняти двом вимогам: розрахункові потенціали електричного поля еквівалентного генератора в різних крапках організму повинні бути рівні реальним потенціалам; при варіюванні параметрів еквівалентного генератора повинні відбуватися такі ж зміни ...
... О. Костиков, В. Н. Голощапов, Г. К. Вороновский, А. Ю. Козлоков // Енергетика та електрифікація – 2007. – №9. – С. 17 – 21. АНОТАЦІЯ Альохіна С. В. Моделювання теплових процесів в елементах енергетичного обладнання ТЕС та АЄС шляхом розв’язання спряжених задач теплообміну. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.14.06 – технічна теплофі ...
... сути, может приводить к необоснованному пессимизму в оценке практической ценности алгоритмов МГУА. Показано, что реалистичный подход к использованию алгоритмов самоорганизации в задаче синтеза ИТ обработки сигналов, основан на двухэтапном решении задачи. Первый этап предусматривает переход от исходного пространства наблюдений к обоснованному набору потенциально полезных признаков (потенциальных ...
0 комментариев