Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


інтегральні характеристики векторних полів


1. Диференціальні операції другого порядку

Нехай в області  задані скалярне поле  і векторне поле , причому функції  мають в області  неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді  і  є диференційовними векторними полями, а  – диференційовним скалярним полем.

До векторних полів  і  можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля  – операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:

.

Операцію  називають оператором Лапласа і позначають також символом :

.

З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді

.

Враховуючи, що

,

дістаємо

.

Функція , яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа , називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція  є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд , при  задовольняє рівняння Лапласа:

(потенціальне векторне поле  є безвихровим) і

(векторне поле  є соленоїдальним).

1. Дві інші повторні операції  і  пов’язані співвідношенням

, (1)


де – вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій .

2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів

Довільне неперервно диференційовне векторне поле  може бути зображено у вигляді

, (2)

де  – потенціальне поле,  – соленоїдальне поле.

Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле  є градієнтом деякого скалярного поля : . Тому для вектора  із рівності (2) маємо

. (3)

Щоб векторне поле  було соленоїдальним, воно має задовольняти умову , звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо

.

Таким чином, для скалярного потенціала поля  отримуємо рівняння

, (4)

де  – відома функція даного поля .

Отже, якщо функція  є розв’язком рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля  у вигляді (2), де  – потенціальне поле,  – соленоїдальне поле.

Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:

.

Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля  у вигляді (2) не є єдиним.


Информация о работе «Інтегральні характеристики векторних полів»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 12525
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 1

Похожие работы

Скачать
162243
21
52

... випадків, аварій, а з цим і простоїв на підприємстві, укріпити та створити культуру трудової діяльності. Виконання та розробка дипломного проекту “ Розробка дослідження системи керування електроприводом змінного струму дизель-потягу з використанням нейронних мереж ” відбувається за допомогою комп'ютера, тому питання охорони праці розглядаються щодо забезпечення здорових і безпечних умов роботи ...

Скачать
21654
1
9

к джерела електричного поля представляють у виді еквівалентного електричного генератора. Під ним мається на увазі модельна фізична система, що повинна задовольняти двом вимогам: розрахункові потенціали електричного поля еквівалентного генератора в різних крапках організму повинні бути рівні реальним потенціалам; при варіюванні параметрів еквівалентного генератора повинні відбуватися такі ж зміни ...

Скачать
41892
0
0

... О. Костиков, В. Н. Голощапов, Г. К. Вороновский, А. Ю. Козлоков // Енергетика та електрифікація – 2007. – №9. – С. 17 – 21. АНОТАЦІЯ Альохіна С. В. Моделювання теплових процесів в елементах енергетичного обладнання ТЕС та АЄС шляхом розв’язання спряжених задач теплообміну. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.14.06 – технічна теплофі ...

Скачать
23770
3
11

... сути, может приводить к необоснованному пессимизму в оценке практической ценности алгоритмов МГУА. Показано, что реалистичный подход к использованию алгоритмов самоорганизации в задаче синтеза ИТ обработки сигналов, основан на двухэтапном решении задачи. Первый этап предусматривает переход от исходного пространства наблюдений к обоснованному набору потенциально полезных признаков (потенциальных ...

0 комментариев


Наверх