Поверхневі інтеграли другого роду

2. Поверхневі інтеграли другого роду

Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні  довільну точку , проведемо в ній нормаль  певного напряму і розглянемо на поверхні  довільний замкнений контур, який виходить з точки  і повертається в точку , не перетинаючи при цьому межі поверхні . Переміщатимемо точку  по замкненому контуру разом з вектором  так, щоб вектор  весь час залишався нормальним до . При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку  з тим самим або з протилежним напрямом нормалі.

Якщо у довільну точку  поверхні  після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на поверхні , який не перетинає її межу, ми повертаємося з початковим напрямом нормалі , то поверхню називають двосторонньою.

Якщо при обході деякого контуру напрям нормалі змінюється на протилежний, то поверхню називають односторонньою.

Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня без самоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням , де  – функції, неперервні в деякій області  площини .

Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса (рис. 3).

Рисунок 3 – Лист Мебіуса

Модель цієї поверхні можна отримати, якщо прямокутну полоску паперу, перекрутивши один раз, склеїти так, щоб точка  збігалася з , а точка  – з .

Двосторонню поверхню називають орієнтовною, а вибір певної її сторони орієнтацією поверхні. Направивши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об'єму, обмеженого поверхнею, отримаємо внутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовні.

Нехай  – орієнтовна (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром , який не має точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру , при якому спостерігач, розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі, залишає поверхню зліва від себе (рис. 4).

Рисунок 4 – Орієнтовна поверхня

Протилежний напрям обходу називається від'ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні на протилежну, то додатний і від'ємний напрями обходу контуру  поміняються місцями.

З'ясуємо тепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.

Нехай  – гладка поверхня, задана рівнянням  і  – обмежена функція, визначена в точках поверхні . Зорієнтуємо поверхню . Розіб'ємо її довільно на  частин. Позначимо через  проекцію -ї частини поверхні  на площину , а через  – площу , взяту із знаком плюс, якщо обрана зовнішня сторона поверхні , та із знаком мінус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні . Виберемо в кожній частині  довільну точку  і складемо суму

.(6)

Вираз (6) називається інтегральною сумою. Нехай  – максимальний діаметр поверхонь .

Якщо при  інтегральні суми (6) мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду і позначають так: . Отже, за означенням

.(7)

З означення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторони поверхні на протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак .

Поверхню  можна також проектувати на координатні площини  та . Тоді матимемо ще два поверхневі інтеграли , де  – функції, визначені в точках поверхні .

Оскільки  (рис. 5),

Рисунок 5 – Проекція поверхні  на координатну площину

де  – елемент площі поверхні  – кути між нормаллю до поверхні  та осями  відповідно, то справедливі такі формули:

На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто

.(8)

Якщо, наприклад, вектор  є швидкістю рідини, то кількість  рідини, яка протікає через поверхню  за одиницю часу, називається потоком вектора  через поверхню  і знаходиться за формулою:

.

У цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла другого роду. Зрозуміло, коли вектор  має іншу природу, поверхневий інтеграл має інший фізичний зміст.

Формула (8) виражає загальний поверхневий інтеграл другого роду через поверхневий інтеграл першого роду.

Поверхневі інтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвійних інтегралів.

Нехай функція  неперервна в усіх точках гладкої поверхні , яка задана рівнянням , де область  – проекція поверхні  на площину . Виберемо верхню сторону поверхні , де нормаль до поверхні утворює з віссю  гострий кут, тоді . Оскільки , то суму (6) можна записати у вигляді

. (9)

У правій частині рівності (9) міститься інтегральна сума для функції . Ця функція неперервна в області , тому інтегрована в ній.

Перейшовши в рівності (9) до границі при , отримаємо формулу

,

яка виражає поверхневий інтеграл другого роду по змінних  і  через подвійний. Якщо вибрати нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює з віссю  тупий кут), то одержаний подвійний інтеграл беруть із знаком «мінус», тому

.(10)

Аналогічно

;(11)

.(12)

У формулі (11) гладку поверхню  задано рівнянням , а у формулі (12) – рівнянням . Знак «плюс» беремо у цих формулах тоді, коли нормаль до поверхні утворює відповідно з віссю , з віссю  гострий кут, а знак «мінус» – коли тупий кут; ,  – проекції поверхні  на площини  та  відповідно.

Для обчислення загального інтеграла (8) використовують формули (10) – (12), проектуючи поверхню  на всі три координатні площини. Таким чином,

Правильність вибору знаків перед подвійними інтегралами можна перевірити за допомогою формули

,

яка визначає одиничний нормальний вектор до поверхні . Подвійний знак у цій формулі відповідає двом сторонам поверхні . З формули (8) випливає, що знак перед подвійним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямного косинуса нормалі :

.

Якщо поверхня  неоднозначно проектується на будь-яку координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, а інтеграл (8) – на суму інтегралів по одержаних частинах поверхні .