Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

 


1. Поверхневі інтеграли першого роду

Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.

Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні  визначена обмежена функція . (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню  на  довільних частин  без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай  – площа, а  – діаметр частини поверхні . У кожній частині  виберемо довільну точку  і складемо суму

.(1)

Рисунок 1 – Поверхня

Цю суму називають інтегральною сумою для функції  по поверхні .

Якщо при  інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції  по поверхні  і позначають .

Таким чином, за означенням

.(2)

У цьому разі функція  називається інтегровною по поверхні , а поверхня  – областю інтегрування.

Якщо функція  неперервна на поверхні , то вона інтегровна по .

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Нехай гладка поверхня , задана рівнянням , проектується на площину  в область . Припустимо, що функція  неперервна на поверхні , а функції  неперервні в області .

Внаслідок розбиття поверхні  на частини  область  розіб'ється на частини , які є відповідними проекціями частин  на площину  (рис. 2).

Рисунок 2 – Розбиття поверхні  на частини


Якщо  – площа області ,  – площа поверхні , то

,

тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді

.(3)

Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції

,

тому з рівностей (2) і (3) випливає, що

.(4)

Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні  на площину .

Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні  через подвійні інтеграли по її проекціях на площини  та . Якщо поверхня  задається рівнянням  або , то

,


де  та  – проекції поверхні  на координатні площини  та  відповідно.

Якщо у формулі (2) покласти  на поверхні , то отримаємо

,(5)

де  – площа поверхні , тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.

Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.

Якщо на кусково-гладкій поверхні  розподілено масу з поверхневою густиною , то:

а) маса матеріальної поверхні

;

б) координати центра маси поверхні:

,

де  – статичні моменти поверхні  відносно осей ;

в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:



Информация о работе «Поверхневі інтеграли»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11969
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 10

Похожие работы

Скачать
8512
0
4

... прямокутних координат  до сферичних   (рис. 4, б), які пов'язані з  формулами Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні ; , якобіан перетворення . З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах: . (10) Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня  є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних ...

Скачать
7761
0
9

... Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області  функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).   3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки 1. Маса пластини. Нехай на площині  маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначає ...

Скачать
10798
0
7

... йного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох звичайних визначених інтегралів. Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при  функція . Тоді, згідно з формулою (7), подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис.3) з основою , обмеженого зверху поверхнею . Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів [6]: , де  - площа перерізу тіла ...

Скачать
13145
1
0

... прийнятної точності необхідна велика кількість статистичних випробувань. Теорія методу Монте-Карло вивчає способи вибору випадкових величин  для вирішення різних завдань, а також способи зменшення дисперсії випадкових величин. 3. Програма обчислення кратного інтеграла методом Монте-Карло Обчислити певний інтеграл . за методом “Монте-Карло” по формулі , де n – число випробувань ;g(x) – щі ...

0 комментариев


Наверх