Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми

1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції

Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин  і  називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин:

 . (1)

Властивості коваріації:

1.

2.

3.

Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:

Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:

Теорема. Для будь-яких випадкових величин ,  коефіцієнт кореляції  причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли  і  з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин  і  з довільним коефіцієнтом  та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.

При цьому отримаємо невід’ємну квадратичну форму відносно змінної  з невід’ємним коефіцієнтом при .

Це можливо лише за умови, що її дискримінант . З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:

або

або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин

.

Тобто

Доведемо тепер другу частину теореми:  тоді і тільки тоді, коли  і  з імовірністю 1 пов'язані лінійно.

Необхідність:

Достатність:

, , ,

, .

Випадкові величини x,h називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини x, h незалежні, то вони некорельовані.

.

Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.

Наприклад,

.

.


Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (x,h), крім коваріації  можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .

Умовним середнім значенням  і умовною дисперсією  випадкової величини x за умови h =y називаються величини:

,

.

Аналогічно визначаються характеристики  і .

Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:

, .


Информация о работе «Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 5402
Количество таблиц: 1
Количество изображений: 4

Похожие работы

Скачать
15415
0
2

... рівність нормування . Ймовірність попадання випадкової точки  у довільну область (рис.1.3) обчислюється за формулою ,(1.7) яка одразу слідує з означення подвійного інтеграла Приклад 1.5. Система випадкових величин  задана густиною сумісного розподілу . Знайти ймовірність попадання випадкової точки у прямокутник з вершинами , ,,. Розв’язування. За формулою (1.7) . . ...

Скачать
61828
1
3

... ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ   1. Поняття та закон розподілу системи випадкових величин До цього часу ми розглядали одномірну випадкову величину X. Однак в сучасній теорії математичної обробки результатів багаторазових повторних геодезичних вимірювань використовують багатомірні випадкові величини. Багатомірна випадкова величина може складатися із декількох компонентів і бути двомірною, тримірною і так ...

Скачать
70410
3
11

... і провести моделювання за початковими даними; ·              розробити програмне забезпечення для статистичного моделювання сітьового графіка за початковими даними; ·              зробити висновки по роботі та досягнутим результатам. 1 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ПРЕДМЕТНОЇ ОБЛАСТІ   1.1 Дослідження процесу побудови судна   1.1.1 Аналіз процесу побудови судна як об’єкта ...

Скачать
50871
0
14

... часу електромашинного підсилювача Кп = 20 – коефіцієнт підсилення Отже передаточна функція ССП (без тахогенератора) буде мати такий вигляд: Kp(P) = Формалізована модель дослідження стійкості та якості перехідних процесів слідкувальної системи Формалізація приведення інформації зв’язаної з виділеними властивостями, до вибраної форми.  внутрішні впливи; зовнішні впливи. ...

0 комментариев


Наверх