2. Стержень кругового сечения


Кручение стержней


скручивается моментом Mz.

Исследовать напряженное состояние стержня.

Для функции напряжений принимаем выражение


Кручение стержней (a)


где A- неизвестный множитель.

Согласно уравнению (91)


Кручение стержней


Откуда


Кручение стержней

рис.21


Кручение стержней

и функция напряжений будет


Кручение стержней (б)


Напряжения определяем согласно формулам (90):


Кручение стержней (в)


Эпюры напряжений приведены на рис.21.

Согласно формуле (97)


Кручение стержней


Наибольшее напряжение


Кручение стержней (г)


где Кручение стержней полярный момент сопротивления.

Все формулы настоящее задачи являются частным случаем формул задачи (85) при a=b, когда эллипс превращается в круг.

3. Задача Вебера (1921 г.)

Круглый стержень диаметром b с полукруглой выточкой радиуса a скручивается моментом Mz (рис.22).

Найти натяжное состояние стержня.

Уравнения контуров сечения в полярных координатах имеют вид:

Кручение стержней (a)


Функция напряжений принимает в форме:


Кручение стержней

рис.22


Кручение стержней (б)


где А - неизвестный множитель.

Функция Ф на контуре равна нулю.

В декартовых координатах при


Кручение стержней


функция напряжений


Кручение стержней


Согласно уравнению (91)

Кручение стержней


и функция напряжений будет


Кручение стержней (в)


Касательные напряжения в полярных координатах, согласно рис.22, равны:


Кручение стержней


Дифференцируя функцию Ф, получаем:


Кручение стержней (г)


Максимальное значение касательное напряжение принимает в точки контура, находящейся на дне выточки:


Кручение стержней (д)


При Кручение стержней оно вдвое больше, чем на контуре без выточки (концентрация напряжений у выточек).

4. Задача Сен-Венана.

Прямоугольный стержень со сторонами a и b (a>b) скручивается моментом Mz (рис.23). Исследовать напряженное состояние стержня.


Кручение стержней

рис.23


Функцию напряжений принимаем в виде:


Кручение стержней (а)


где F- неизвестная функция.

Подставив выражение (а) в уравнение (91), найдем, что функция F должна удовлетворять гармоническому уравнению


Кручение стержней (б)


и краевым условиям


при Кручение стержнейКручение стержней

при Кручение стержнейКручение стержней

Согласно методу Фурье будем искать частное решение уравнения (б) в форме:


Кручение стержней (в)


где X(x)-функция от x;

Y(y)-функция от y.

Подставляя функцию F(x,y) в уравнение (б) и разделяя переменные, приходим к уравнениям:


Кручение стержней (г)


где Кручение стержней- постоянная величина.

Ввиду симметрии задачи решение уравнений (г) берем в виде четных функций


Кручение стержней


откуда


(д)


При


Кручение стержней F=0,


Откуда

Кручение стержней и Кручение стержней (k=0, 1, 2, …).


При


Кручение стержнейКручение стержней

т.е. Кручение стержней (е)


Правую часть равенства (е) в интервале Кручение стержней раскладываем в тригонометрический ряд по косинусам:


Кручение стержней (ж)

где Кручение стержней


Сравнивая коэффициенты Ak и Bk выражений (е) и (ж), получим:


Кручение стержней


Окончательно функция напряжений будет


Кручение стержней (з)


Наибольшее касательное напряжение будет в середине длинных сторон при x=0 и Кручение стержней


Кручение стержней (и)


Эпюры напряжений приведены на рис.23.

Согласно выражению (97)


Кручение стержней (к)


Бесконечные ряды при a: b>>1 быстро сходятся.

Для практических расчетов удобно пользоваться формулами:


Кручение стержней (л)


где Кручение стержнейжесткость на кручение. (м)

Значения коэффициентов qi приведены в табл. 3.1.


Таблица 3.1

a:b q1 q2 q3 a:b q1 q2 q3

1

1,5

2

3

4


0,208

0,230

0,246

0,267

0,282


1,000

0,860

0,795

0,753

0,745


0,140

0,196

0,229

0,263

0,281


6

8

10

Кручение стержней


0,298

0,307

0,312

0,333

(1/3)


0,743

0,743

0,743

0,743


0,298

0,307

0,312

0,333

(1/3)



Информация о работе «Кручение стержней»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 46040
Количество таблиц: 3
Количество изображений: 59

Похожие работы

Скачать
20350
0
5

... будут соответственно обозначать диаметр болтов и допускаемое напряжение материала болтов на сдвиг (срез).   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при ...

Скачать
85824
1
44

... сечения увеличиваются. Из-за трения между опорными плитами нагружающего устройства и торцевыми поверхностями образца он принимает бочкообразную форму. Для ряда пластичных материалов обнаружить напряжение, аналогичное временному сопротивлению при растяжении, не удается, так как образец сплющивается. Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чем ...

Скачать
460103
24
39

... ребрами) изображают конструктивные и потоковые функциональные структуры [14]. Принципы построения функциональных структур технических объектов рассматриваются в последующих главах курса "Основы проектирования им конструирования" не включенных в настоящее пособие. Для систем управления существуют характеристики, которые можно использовать в качестве критериев для оценки структур. Одна из них - ...

Скачать
16454
1
4

... Из выражений (4) и (5) можно найти значение осевого момента сопротивления W поперечного сечения вала как  или  и далее величину диаметра вала . Местные напряжения Напряжения при растяжении (сжатии), изгибе, кручении и сложных деформациях, определяемые по рассмотренным выше зависимостям, называют расчетными или номинальными. Экспериментально установлено, что в местах приложения сил, в местах ...

0 комментариев


Наверх