1. Допущения

При кручении вала переменного сечения (рис. 19) задача решается


Кручение стержней

рис.19


в цилиндрических координатах при следующих допущениях:


Кручение стержней (98)


2. Основные уравнения

При принятых допущениях (98) расчетные уравнения будут:

Геометрическое уравнение


Кручение стержней (99)


Уравнения закона Гука


Кручение стержней (100)


Статические уравнения

При отсутствии объемных сил из уравнений равновесия остается лишь одно:

Кручение стержней


а остальное удовлетворяются тождественно.

Последнее уравнение можно записать в форме:


Кручение стержней (101)


и тождественно удовлетворить введением функции напряжений Кручение стержней по формулам:


Кручение стержней (102)


Решая совместно уравнения (100) и (102) получаем:


Кручение стержней (103)


Если боковая поверхность свободна от внешних сил, то результирующее касательное напряжение направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль v равна нулю. В этом случае имеем:


Кручение стержней


Где


Кручение стержней


Приняв во внимание формулы (92), получим:


Кручение стержней


откуда следует, что на контуре


Кручение стержней (104)


на торцах (z=0 и z=l)


Кручение стержней (105)


где a - радиус рассматриваемого поперечного сечения, определяемый уравнением образующей.

Если на боковой поверхности действует нагрузка p, то


Кручение стержней,


Откуда


Кручение стержней

и вместо формулы (104) получим:


Кручение стержней (106)


3. Решение дифференциального уравнения кручения вала

Возможны различные формы решений уравнения (103)

В степенных функциях.

Полагаем


Кручение стержней (107)


Подставляя значение Кручение стержней в уравнение (103), находим n=4 и m=1, откуда


Кручение стержней (108)


и напряжения принимают вид:


Кручение стержней (109)


Из формул (109) получаем ряд частных случаев, например при A=D=0 и B=1 - элементарное решение задачи о кручении круглого вала. В этом случае


Кручение стержней


и на основании формулы (105)


Кручение стержней


В функциях Бесселя.

Полагая


Кручение стержней


где R(r) - функция переменной r, а Z(z) - переменной z, и подставляя в уравнение (103), получаем:


Кручение стержней (110)


где Кручение стержней некоторое число.

Уравнения (110) имеют следующие два решения:


Кручение стержней (111)

Кручение стержней (112)


где,

Кручение стержнейфункция Бесселя второго порядка действительного аргумента соответственно первого и второго рода;

Кручение стержнейфункция Бесселя второго порядка мнимого аргумента соответственно первого и второго рода.

Напряжения определяют по формулам:


Кручение стержней (113)

И Кручение стержней (114)


где J1, Y1, I1, K1 - функция Бесселя первого порядка.

В функциях Лежандра.

Дифференциальное уравнение кручения валов переменного сечения (103) в криволинейных, ортогональных, изотермических координатах имеет вид:


Кручение стержней (115)


где Кручение стержнейкриволинейные, ортогональные, изотермические координаты в плоскости осевого сечения вала.

Координаты Кручение стержней в плоскости Кручение стержней (см. рис.19) связаны с координатами r и z соотношениями:


Кручение стержней (116)


и обратно


Кручение стержней


Полагая


Кручение стержней

где Кручение стержней функция Кручение стержней, а Кручение стержней функция Кручение стержней, и подставляя в уравнение (115), получаем, учтя формулы (116), два уравнения:


Кручение стержней (117)


где n- некоторое постоянное число.

Из первого уравнения (117), принимая Кручение стержней, находим:


Кручение стержней (118)


Решение второго уравнения (117) ищем в форме:


Кручение стержней (119)


где Кручение стержней

Подставляя значение Кручение стержней во второе уравнение (117), приходим к уравнению Лежандра:


Кручение стержней (120)


откуда


Кручение стержней (121)

где Кручение стержнейфункции Лежандра первого рода, а при n – целом числе – полиномы Лежандра.

Первое решение уравнения (115) будет


Кручение стержней (122)


Второе решение имеет вид:


Кручение стержней (123)


где Кручение стержней функция Лежандра второго рода.

При n=0 и n=1 решения получаются непосредственно из второго уравнения (117):


при n=0 Кручение стержней

при n=1 Кручение стержней


Таким образом, решения (122) и (123) дополняются двумя значениями функции Кручение стержней:


Кручение стержней (124)


При эллиптических координатах Кручение стержней, которые связаны с координатами r и z соотношениями:


Кручение стержней (125)


Полагая


Кручение стержней


приходим к решению в форме:


Кручение стержней (126)


где Кручение стержней

Pn(…) - функция Лежандра первого рода;

Qn(…) – функция Лежандра второго рода.

Если переменить роли координат r и z, т.е. расположить полюса эллиптической системы координат не на оси вала Oz, а на оси Or, то связь между r, z и Кручение стержней будет


Кручение стержней (127)


и решение (126) примет вид:


Кручение стержней (128)


где Кручение стержней


ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ


1. Стержень эллиптического сечения Кручение стержней скручивается моментом Mz.

Исследовать напряженное состояние стержня.

Задаемся функцией напряжений в виде:


Кручение стержней (a)


где A-неизвестный множитель.

Подставляя функцию Ф в уравнение (91), получаем:


Кручение стержней


Откуда


Кручение стержней


и функция напряжений


Кручение стержней

Кручение стержней (б)


Напряжения определяем по формулам (90):


Кручение стержней (в)


Эпюры напряжений приведены на рис.20. рис.20

Для определения пользуемся формулой (97).

Согласно формуле (б) площадь эллипса


Кручение стержней


где при x=y=0


Кручение стержней


По формуле (97)


Кручение стержней


Наибольшее напряжение в точке (0, b)


Кручение стержней



Информация о работе «Кручение стержней»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 46040
Количество таблиц: 3
Количество изображений: 59

Похожие работы

Скачать
20350
0
5

... будут соответственно обозначать диаметр болтов и допускаемое напряжение материала болтов на сдвиг (срез).   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при ...

Скачать
85824
1
44

... сечения увеличиваются. Из-за трения между опорными плитами нагружающего устройства и торцевыми поверхностями образца он принимает бочкообразную форму. Для ряда пластичных материалов обнаружить напряжение, аналогичное временному сопротивлению при растяжении, не удается, так как образец сплющивается. Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чем ...

Скачать
460103
24
39

... ребрами) изображают конструктивные и потоковые функциональные структуры [14]. Принципы построения функциональных структур технических объектов рассматриваются в последующих главах курса "Основы проектирования им конструирования" не включенных в настоящее пособие. Для систем управления существуют характеристики, которые можно использовать в качестве критериев для оценки структур. Одна из них - ...

Скачать
16454
1
4

... Из выражений (4) и (5) можно найти значение осевого момента сопротивления W поперечного сечения вала как  или  и далее величину диаметра вала . Местные напряжения Напряжения при растяжении (сжатии), изгибе, кручении и сложных деформациях, определяемые по рассмотренным выше зависимостям, называют расчетными или номинальными. Экспериментально установлено, что в местах приложения сил, в местах ...

0 комментариев


Наверх