Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение

Глава 1. Кручение стержней имеющих в сечении правильный многоугольник

§1.1 Кручение призматических стержней

§1.2 Кручение стержней прямоугольного сечения

§1.3 Мембранная аналогия

§1.4 Кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Глава 2. Кручение стержней имеющих в сечении круг и эллипс

§2.1 Кручение стержней круглого и эллиптического сечений

§2.2 Кручение тонкостенных труб

§2.3 Кручение круглых валов переменного диаметра

Глава 3. Кручение призматических и цилиндрических стержней

§3.1 Чистое кручение стержней постоянного сечения

§3.2 Чистое кручение круглых стержней (валов) переменного сечения

Глава 4. Задачи

Заключение

Литература


ВВЕДЕНИЕ


Данная выпускная квалификационная работа состоит из четырех глав. В первой главе излагается прямой, обратный и полуобратный методы, применяемые при решении задач о кручении стержня прямоугольного сечения. Исследованы приближенные методы решения задач о кручении более сложных сечений.

Вторая глава посвящена изучению кручения стержней в сечении имеющих форму круга или эллипса. Применяют метод перехода к полярным координатам.

В третьей главе исследуется кручение призматических и цилиндрических стержней, исследуются общие построения данной теории и их различия.

В четвертой главе изучают теоретическое применение к решению задач.


Глава 1. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ В СЕЧЕНИИ ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК


§1.1 Кручение призматических стержней


Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений теории упругости совместно с заданными граничными условиями, не всегда возможен. Для многих задач удобно применять так называемые обратный и полуобратный методы. При пользовании обратным методом выясняют, каким граничным условиям соответствуют некоторые функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям. Таким путем можно получить ряд полезных результатов. Полуобратный метод, впервые предложенный Сен-Венаном, состоит в том, что делают некоторые допущения в отношении напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что решение их не представляет особых математических трудностей. Принимая те или иные допущения, мы, как правило, ограничиваем общность полученного решения; но обычно их можно формулировать таким образом, чтобы все же получить решение частных задач. Например, в рассматриваемой ниже задаче о кручении призматического стержня мы будем задаваться определенными функциями для перемещений и, v, w, сводя, таким образом, основные уравнения к одному дифференциальному уравнению. Но при таких допущениях мы можем найти решение задачи о кручении стержней только постоянного сечения; решения же для стержней, не являющихся призматическими, получить этим путем нельзя. Полуобратный метод является одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости.


Кручение стержней

рис. 1


Предположим, что один конец стержня призматического сечения, длины L, закреплен в плоскости ху, а на другой конец действует пара, вектор-момент который направлен вдоль оси z (рис. 1). Мы полагаем, что закрепленный конец не может вращаться, но что оба конца могут свободно перемещаться друг относительно друга в направлении z. Под действием пары стержень будет закручиваться, причем образующие цилиндра будут превращаться в винтовые линии. Угол поворота любого поперечного сечения зависит от расстояния, на котором находится это сечение от закрепленного конца. При малой деформации можно считать, что угол закручивания Кручение стержней пропорционален расстоянию между сечением и закрепленным концом. Таким образом,


Кручение стержнейz, (1)


Кручение стержней

рис. 2

где Кручение стержней угол закручивания на единицу длины. Будем считать угол закручивания Кручение стержней малым. Рассмотрим сечение стержня, которое находится на расстоянии z от закрепленного конца. Точка Р с координатами x, y, z в результате деформации перемещается в точку Р’(x+u, y+v, z+w). На рисунке 2 показана точка Р’1, являющаяся проекцией Р’ на плоскость xy.

Предположим, что в плоскости xy точка Р перемещается в Р’1 при повороте на угол закручивания Кручение стержней, причем ОРКручение стержнейОР’1= r. Если угол Кручение стержней мал, то cosКручение стержнейКручение стержней1 и sinКручение стержней . Следовательно,Кручение стержней


Кручение стержней


Подставляя значение Кручение стержней (1), получаем


Кручение стержней (2)


таким оказывается закон изменения u и v. В отношении w не будем пока делать никаких допущений, кроме того, что w зависит только от x и y и не зависит от z . Следовательно, можно записать


Кручение стержней (3)


где Кручение стержней- некоторая функция от x и y .Так как w определяет искажение (депланацию) торцевых сечений, то функцию Кручение стержней можно назвать функцией депланацией. Необходимо выяснить, будут ли отвечать принятые выражения для перемещений, вместе с неизвестной еще функцией Кручение стержней, напряженному состоянию, удовлетворяющему заданным граничным условиям. Эти условия в данном случае состоят в том, что на обоих торцах должны действовать, только крутящие моменты и что боковая поверхность стержня свободна от сил.

Пользуясь приведенными выше выражениями для перемещений, находим:


Кручение стержней (4)


Из закона Гука следует:


Кручение стержней (5)


Подставим эти значения в уравнения равновесия, которые будут выполняться, в случае, если функция Кручение стержней удовлетворяет уравнению


Кручение стержней


для всех точек поперечного сечения R стержня, здесь


Кручение стержней


- оператор Лапласа.

Обратимся к граничным условиям. Так как


Кручение стержней


на боковой поверхности стержня, то уравнений примет следующий вид:


Кручение стержней на контуре S,


где S - контурная линия поперечного сечения стержня.

Покажем, далее, что на двух других граничных поверхностях, а именно, на торцах стержня, определяемых плоскостями z=0 и z=L, напряжение (5) сводятся к скручивающей паре, и результирующие силы отсутствуют. Результирующая сила в направлении x равна


Кручение стержнейКручение стержней; (8)


это выражение можно привести к виду


Кручение стержней. (9)


При получении уравнения (9) были использованы соотношения


Кручение стержней


Кручение стержней

рис. 3


здесь принято


Кручение стержней


в соответствии с уравнением (6).

Пусть f является некоторой функцией x и y; тогда можно выписать равенства (рис. 3):


Кручение стержней


где f1 и f2 - значение функции f на правой и левой частях контура. Выполним интегрирование по y для контурной кривой в границах от y=yA до y=yB. Если мы будем вести интегрирование функции f по контуру в направлении против часовой стрелки, то для правой части контура приращение dy - положительно, а для левой - отрицательно. В результате каждая из величин f1dy и (- f2dy) окажется положительной, и, следовательно,


Кручение стержней. (10)


Аналогично,


Кручение стержней (11)


Пользуясь формулами (10) и (11), придадим выражению (9) вид:


Кручение стержней. (12)


Будем считать положительными направления вдоль нормали N во внешнюю сторону и вдоль контура – против часовой стрелки; тогда согласно рис.3,б получим


Кручение стержней (13)


Равенство (12) принимает вид


Кручение стержней


при этом выражение


Кручение стержней


обращается в нуль на контуре S в соответствии с уравнением (7). Мы пришли, таким образом, к равенству


Кручение стержней


Таким же путем можно показать, что составляющая результирующей силы вдоль оси также равна нулю:


Кручение стержней


Следовательно, результирующие силы по торцам цилиндра обращаются в нуль.

Результирующий крутящий момент T по торцам стержня, отвечающий принятому распределению напряжений, равен:


Кручение стержней (14)


Интеграл, фигурирующий в выражении (14), зависит от функции кручения Кручение стержней и, следовательно, от вида поперечного сечения R стержня. Вводя обозначение


Кручение стержней (15)


Получим


Кручение стержней (16)


где J – постоянная кручения. Уравнение (16) показывает, что крутящий момент пропорционален углу закручивания на единицу длины, так что произведение является мерой жесткости стержня, подвергаемого кручению; величина эта называется крутильной жесткостью стержня.


§1.2 Кручение стержней прямоугольного сечения


Пусть поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами 2a и 2b, направленными параллельно координатным осям, как показано на рис.7. Пользуемся полученными ранее уравнениями: для всей прямоугольной области


Кручение стержней

рис.7


Кручение стержней (6)


и по контору


Кручение стержней (7)


На контурных линиях AB и CD, где x=Кручение стержнейa, будет l=Кручение стержней1 и m=0 , а на линиях BC и AD имеем l=0 и m=Кручение стержней1 . Условие на контуре (7) можно переписать в следующем виде:


Кручение стержней (31)


Этим условиям можно придать более удобную форму, вводя новую функцию Кручение стержней так, что


Кручение стержней. (32)


Легко показать, что для новой функции Кручение стержней основное уравнение по всей прямоугольной области будет иметь вид:


Кручение стержней; (33)


условия на контуре будут следующими:


Кручение стержней при Кручение стержней (34)

Кручение стержней при Кручение стержней (35)


Примем решение уравнения (33) в виде бесконечного ряда


Кручение стержней (36)


каждый член, которого удовлетворяет дифференциальному уравнению; здесь Xn(x) и Yn(y) – функции соответственно только x и y. Очевидно, если решение для Кручение стержней нельзя выразить в форме ряда (36), то мы не сможем найти решение для функции Xn и Yn , удовлетворяющее граничным условиям.

Подставляя Xn(x), Yn(y) в уравнение (33) и обозначая производные штрихами, находим


Кручение стержней


Или


Кручение стержней


Так как левая часть полученного уравнения является функцией только от x, а правая зависит только от y, то уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если обе его части равны постоянной величине; обозначим ее через (Кручение стержней) (постоянную берем со знаком минус, так как иначе граничные условия не будут удовлетворяться). Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:


Кручение стержней


Эти дифференциальные уравнения легко решить с помощью известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение их будут следующими:


Кручение стержней (37)

Кручение стержней (38)


Рассмотрим теперь условие на контуре (35). Во-первых, можно установить, что выражение


Кручение стержней


должно иметь одно и то же значение при y=b и y=-b. Это условие может быть выполнено, если производные Кручение стержней являются симметричными функциям от y. Во-вторых, при Кручение стержней будем иметь


Кручение стержней


Это условие удовлетворяется, если Xn(x) являются антисимметричными функциями относительно x. Исходя из этих соображений, находим, что c2=c4=0.Условие (34) будет выполнено, если Кручение стержней, или

Кручение стержней


Отсюда находим


Кручение стержней.


Поскольку c1 и c2 – произвольные постоянные, функцию можно записать в следующем виде:


Кручение стержней (39)


Где


Кручение стержней;


постоянные An следует определить таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (35).

Дифференцируя функцию Кручение стержней по y и подставляя Кручение стержней из уравнения (35) получаем


Кручение стержней; (40)


здесь для упрощения записи введено обозначение:


Кручение стержней.


Коэффициенты An можно определить, пользуясь схемой, применяемой при разложении функции в ряд Фурье. Умножим обе части уравнения (40) на Кручение стержней и проинтегрируем все члены по x. Учитывая соотношения


Кручение стержней


получим


Кручение стержней при Кручение стержней

= a при m=n

и Кручение стержней


Вычислив значения интегралов в этом выражении, найдем


Кручение стержней


или


Кручение стержней


следовательно, решение будет иметь вид:

Кручение стержней (41)


Постоянную кручения J можно определить по формуле (15):


Кручение стержней


Принимая во внимание равенство


Кручение стержней


приходим к формуле для J:


Кручение стержней (42)


В таблице 1.1 даны значения K, соответствующие разным величинам отношения b/a .


Таблица 1.1

b/a K K1 K2

1,0

1,2

1,5

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

10,0

Кручение стержней

2,250

2,656

3,136

3,664

3,984

4,208

4,496

4,656

4,992

5,328

1,350

1,518

1,696

1,860

1,936

1,970

1,994

1,998

2,000

2,000

0,600

0,571

0,541

0,508

0,484

0,468

0,443

0,430

0,401

0,375


Ряд (42) можно записать в виде


Кручение стержней


Мы замечаем, что сумма Кручение стержней меньше суммы Кручение стержней так как Кручение стержней при Кручение стержней. Следовательно, первый член ряда дает значение суммы с точностью до 0,5%, и для практических расчетов можно пользоваться приближенной формулой


Кручение стержней (43)


После некоторых выкладок находим следующие формулы для касательных напряжений:


Кручение стержней (44)


Можно показать, что если b>a, то максимальные касательные напряжения имеют место посередине длинных сторон прямоугольника, при Кручение стержней. Подставляя в уравнение (44) значения x=a и y=0, находим


Кручение стержней


и


Кручение стержней (45)


Кручение стержней

рис.8


Бесконечный ряд в правой части уравнения, которой мы обозначим через K1/2, сходится очень быстро при b>a , и вычисление величины Кручение стержней с достаточной точностью для любого отношения b/a не представляет трудностей. Значение K1, соответствующие различным величинам b/a , включены в табл. 1.1. Подставляя выражения

постоянной кручения J из уравнения (42) в уравнение (45), получаем


Кручение стержней (46)


где K2 - второй числовой множитель, значения которого также даны в табл. 1.1.

Горизонтали поверхности, для которых Кручение стержней, могут быть легко определены из уравнения для функции Кручение стержней. Для стержня квадратного сечения, т.е. при a=b , горизонтали на рис.8; здесь сплошные линии соответствуют положительным значениям w, а пунктирные – отрицательным, по правилу знаков.


§1.3 Мембранная аналогия


Из примера, разобранного в предыдущем параграфе, становится очевидным, что задачи о кручении стержня более сложной формы поперечного сечения может оказаться весьма трудным. Для приближенного решения задач о кручения стержней различных сечений, часто встречающихся в технике, весьма эффективной оказались так называемая мембранная аналогия. Она основана на математической аналогии между задачами о кручении и о деформации упругой натянутой мембраны, подверженной равномерному поперечному давлению.


Кручение стержней

рис.9


Пусть тонкая однородная мембрана (рис.9) имеет постоянное натяжение и закреплена по контуру, который ограничивается кривой, лежащей в

плоскости xy. Если мембрана подвергается равномерному поперечному давлению p, то точки её срединной поверхности получат перемещения z, зависящие от x и y. Рассмотрим условие равновесия бесконечного малого элемента ABCD мембраны после деформации. Обозначим через F постоянное натяжение, приходящееся на единицу длины мембраны. Усилие F, действующее по стороне AD, наклонено к оси под углом Кручение стержней. Так как деформации малы, то можно принять Кручение стержней. Прогиб z меняется от точки к точке, поэтому усилие F для стороны BC наклонено под углом


Кручение стержней.


Таким же путем находим, что углы наклона растягивающих усилий, приложенных по сторонам AB и CD, равны соответственно Кручение стержней и Кручение стержней.

Складывая составляющие вдоль оси сил, действующих по четырем сторонам, получаем


Кручение стержней


отсюда


Кручение стержней … для области R. (47)


На контуре прогиб мембраны равен нулю. Поэтому граничное условие имеет вид:


z=0 на контуре S. (48)


Вернемся теперь к задаче о кручении. Основное дифференциальное уравнение будет:


Кручение стержней для области R, (6)


а граничное условие имеет вид:


Кручение стержней на контуре S. (7)


На первый взгляд эти соотношения и уравнения (47) и (48) не являются аналогичными. Однако им можно придать идентичную форму, если ввести новую функцию Кручение стержней с помощью соотношений:


Кручение стержней (49)


Из уравнений (49) имеем


Кручение стержней


Дифференциальное уравнение (6) обращается в тождество, так как


Кручение стержней+ Кручение стержней= Кручение стержнейКручение стержней


Таким образом, если функция Кручение стержней определяется по формулам (49), то уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно.

Выражая касательные напряжения Кручение стержней и Кручение стержней через функцию Кручение стержней, получаем


Кручение стержней (50)


Если функция Кручение стержней найдена, то касательные напряжения можно вычислить путем простого дифференцирования. Следовательно, функция Кручение стержней представляет собой функцию напряжений; определение функции Кручение стержней равнозначно вычислению напряжений. Далее следует использовать уравнение совместимости. Системе напряжений


Кручение стержней


соответствуют компоненты деформации:


Кручение стержней


Подстановка этих величин в уравнения совместимости показывают, что первые три уравнения и последнее из них тождественно удовлетворяются. Четвертое и пятое уравнение приводятся к виду:


Кручение стержней


Интегрируя их, находим


Кручение стержней


Эту постоянную можно определить, если подставить сюда выражения


Кручение стержней


Тогда получим


Кручение стержней


Или


Кручение стержней


Подставляя значение с в уравнение совместимости, получим дифференциальное уравнение


Кручение стержней для области R, (51)


которому должна удовлетворять функция Кручение стержней. Отметим, что уравнение (51) можно получить непосредственно, продифференцировав уравнение (49) и затем, исключив из них функцию Кручение стержней. Но тогда остается нераскрытым то обстоятельство, что уравнение (51) является уравнением совместимости.

Граничное условие (8), выраженное через Кручение стержней, имеет вид:


Кручение стержней на контуре S.


В параграфе §1.1 были уже записаны соотношения


Кручение стержней (13)


Поэтому условие на контуре можно записать в виде


Кручение стержней или Кручение стержней на контуре S. (52)

Заметим, что при вычислении напряжений нам необходимы лишь производные от Кручение стержней и что значение постоянной с2 в уравнении (52) не влияет на решение задачи. Поэтому можно принять с2=0. Окончательно решение задачи о кручении сводится к определению функции Кручение стержней, удовлетворяющей уравнению


Кручение стержней для области R (51)


и условию Кручение стержней на контуре S. (52)

Сравнивая эти уравнения с уравнениями для мембраны, мы видим, что между ними имеется полная аналогия, если отношениеКручение стержнейположить равным 2, и если форма контура мембраны совпадает с формой поперечного сечения стержня. Мембранная аналогия эффективно используется для экспериментального определения функций напряжений. Техника проведения такого эксперимента, а также опытов, связанных с другими аналогиями, подробно описана в специальных пособиях.


Кручение стержней

рис.10


Мембранная аналогия может быть использована не только для численного определения натяжений; она дает также наглядную картину напряженного состояния. На рис.10 изображена такая мембрана и нанесены горизонтали изогнутой поверхности. Рассмотрим некоторую точку В срединной поверхности мембраны. Прогиб вдоль горизонтали остается постоянным, так что


Кручение стержней.


Пользуясь аналогией, можем написать


Кручение стержней.


Из соотношений


Кручение стержней


вытекает, что составляющая касательного напряжения, направленная по нормали к горизонтали, равна нулю. Другими словами, касательное напряжение в точке В закручиваемого стержня направлено по касательной по горизонтали, проходящей через эту точку. Величину результирующего касательного напряжения можно найти из следующей формулы:


Кручение стержней.


Следовательно, величина касательного напряжения в точке В определяется уклоном мембраны по нормали к горизонтали, и потому касательные напряжения достигают максимума в тех местах, где горизонтали особенно сгущаются. Рассмотрение поверхности мембраны показывает, что наибольший уклон имеет место на контуре. Отсюда можно заключить, что максимальные значения касательных напряжений будут также в определенных точках контура сечения стержня.

Обратимся к выводу выражения для постоянной кручения J через функцию Кручение стержней. Из формулы (15) имеем:


Кручение стержней (53)


Здесь использовано то обстоятельство, что по формуле (52) на контуре S будет Кручение стержней. Из мембранной аналогии вытекает, что постоянная кручения J равна удвоенному объему, заключенному между изогнутой мембраной и плоскостью xy. Полагая c2=0, в (52) мы считали, что величина c2 не влияет на решение задачи. Однако значение J, на первый взгляд, зависит от величины c2. Чтобы выяснить это, допустим, что c2Кручение стержней и подставим Кручение стержней вместо Кручение стержней в последнее из выражений (53). Так как в точках контура Кручение стержней, то для них Кручение стержней; следовательно, члены, содержащие контурные значения Кручение стержней, будут равны нулю так же, как это для функции Кручение стержней. Таким образом,


Кручение стержней.


Кручение стержней

рис.11


Пользуясь, рис .11, приходим к соотношениям


Кручение стержней площади BCDD’- площадь BEDD’= -A , (54)


где А - площадь поперечного сечения. Подобным же образом можно показать, чтоКручение стержней. Но в то же время Кручение стержней. Следовательно,


Кручение стержней ,


что совпадает с формулой (53).


§1.4 Кручение тонкостенных стержней открытого профиля


Рассмотрим вначале кручение стержня с поперечным сечением в форме узкого прямоугольника. Из мембранной аналогии заключаем, что влияние коротких сторон прямоугольника распространяется на небольшие участки. Если отношение b/a велико, то в формуле (43) величину Кручение стержней можно приближенно считать равной 1; второй член в скобках становится пренебрежимо мал. Поэтому имеем


Кручение стержней.


Обратимся к формуле (45). При значительном отношении b/a величина


Кручение стержнейКручение стержней


будет большой, сумма же бесконечного ряда получает пренебрежимо малое значение. В результате получаем


Кручение стержней. (55)


Если величина J известна, то угол закручивания можно вычислить по формуле


Кручение стержней. (16)


Обозначим через b1 длину, а через t – толщину прямоугольника (рис.12,а); тогда эти формулы примут вид:


Кручение стержнейt. (56)


В предыдущем параграфе было показано, что напряжение Кручение стержнейравно произведению отношения T/J на максимальный уклон изогнутой мембраны. Из формул (55) и (56) следует, что в случае узкого прямоугольного сечения наибольший уклон изогнутой мембраны равен 2a или t.

Кручение стержней

рис.12


Сопоставим теперь изогнутые мембраны с контурами, изображенными на рис.12,а и б. Очевидно, что если площади поперечного сечения их равны между собой, то равными будут и объемы выпучен в изогнутых мембранах. Если толщина t мала, то кривизна сечения в случае (б) незначительно влияет на максимальный уклон мембраны. Поэтому мы делаем вывод, что формула (56) может быть использована при получении приближенных решений и для тонкостенных профилей иной формы. Для поперечных сечений такого типа, который показан на рис.12,б, надо только вместо b1 в формуле (56) подставить развернутую длину дуги. В случае дуги окружности развернутая длина равна Кручение стержней, где Кручение стержней радиус, а Кручение стержнейугол, стягиваемый дугой, в радианах.

Для таких тонкостенных профилей, как уголки, швеллера и двутавры,

вид изогнутых мембран будет таким, как если бы они были натянуты на несколько отдельных узких прямоугольников. Постоянная кручения J будет равна удвоенному объему, ограниченному изогнутой мембраной и плоскостью xy; максимальный уклон мембраны окажется равным Кручение стержней, причем Кручение стержнейбольшая из величин ti или t2. Следовательно, для уголкового сечения имеем (рис.12, в):


Кручение стержней (57)


а для швеллерного и двутаврового сечения (рис.12, г):


Кручение стержней (58)


Следует заметить, что во входящих углах имеет место значительная концентрация напряжений, зависящая от радиуса закруглений углов профиля. Для малых радиусов закруглений (r=0.1t) Трефц получил следующее уравнение для максимальных напряжений в углах профиля:


Кручение стержней (59)


где r - радиус закругления угла. Уравнение (59) выведено для случая полок равной толщины. Если же полки имеют различную толщину t1 и t2, то в формулу следует подставить большую из них. Концентрация напряжений во входящих углах изучалось экспериментально, причем была использована аналогия с мыльной пленкой. Отношения Кручение стержней, соответствующие различным значениям отношения r/t, приведены в табл.1.2. Экспериментально полученные величины отношения Кручение стержней для малых радиусов закругления ребер профиля значительно меньше вычисленных по формуле (59). Это, вероятно, можно объяснить тем, что при малых радиусах закруглений трудно определить истинные значения Кручение стержней.


Таблица 1.2

Кручение стержней

Кручение стержней

Кручение стержней

Кручение стержней

1

Кручение стержней

2,5 2,25 2,00 1,75

Кручение стержней

ГЛАВА 2.КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ В СЕЧЕНИИ ОКРУЖНОСТЬ ИЛИ ЭЛЛИПС


§2.1 Кручение стержней круглого и эллиптического сечений


Было показано, что для решения задачи о кручении надо найти функцию депланации Кручение стержней, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению


Кручение стержней (6)


во всех точках поперечного сечения, т.е. в области R , и условию


Кручение стержней (7)


на контуре S. Выясним, как найти решение для контура определенной формы.

Задача о кручении стержня круглого и эллиптического сечения решалась с помощью обратного метода. Простейшее решение уравнения Лапласа имеет вид:


Кручение стержней (17)


При Кручение стержней условие на контуре (7) записывается в следующем виде:


Кручение стержней

Отсюда


Кручение стержней,


или


Кручение стержней (18)


где x,y - координаты некоторой точки контура. Из аналитической геометрии известно, что уравнение (18) отвечает окружности с центром в начале координат. Таким образом, выбор функции Кручение стержней в виде Кручение стержней дает нам решение задачи о кручении стержня круглого сечения. Уравнение (3) дает Кручение стержней. Примем граничное условие w=0 при z=0; тогда C=0. Следовательно, плоское сечение цилиндра, перпендикулярное к оси, до закручивания, остается плоским и после деформации. Такое допущение обычно делается при решении задачи методами сопротивления материалов. Но уравнение (18) показывает, что это предположение справедливо только в случае кругового контура; нельзя ожидать, что оно будет справедливым для сечений другой формы.

Пусть радиус окружности равен r0. Из формулы (15) при Кручение стержнейполучаем величину J:


Кручение стержней


равную полярному моменту инерции Ip круглого сечения. Далее, из уравнения (16) имеем


Кручение стержней (19)


а согласно выражению (15)


Кручение стержней (20)


Результирующее касательное напряжение в некоторой точке P(x,y) равно


Кручение стержней (21)


где r - радиус-вектор точки относительно центра окружности, наклоненный к оси x под углом Кручение стержней, причем


Кручение стержней


Следовательно, результирующее касательное напряжение в некоторой точке направлено по касательной к окружности, проходящей через эту точку.

Обратимся теперь к функции


Кручение стержней (22)


Очевидно, такая функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Условие на контуре (7), после подстановки в него функции Кручение стержней (22), принимает вид:


Кручение стержней


Или


Кручение стержней


После интегрирования получим уравнение


Кручение стержней


где x,y - координаты любой точки контура.

Выпишем уравнение эллипса с центром в начале координат:


Кручение стержней (24)


где a и b - полуоси эллипса. Сопоставление уравнений (23) и (24) показывает, что они будут идентичными при условии, если


Кручение стержней


Решая это уравнение относительно A, получим


Кручение стержней


Таким образом, функция


Кручение стержней (25)


представляет собой функцию депланации в задаче о кручении цилиндра эллиптического сечения. Постоянная кручения равна:


Кручение стержней (26)


где Iy, Ix - моменты инерции соответственно относительно осей y и x.

Касательные напряжения в некоторой точке поперечного сечения равны:


Кручение стержней (27)


Результирующее касательное напряжение в точке P(x,y) равно


Кручение стержней (28)


Кручение стержней

рис.4


Напряжение Кручение стержней достигает максимального значения на концах малой оси. Чтобы показать это, построим ряд эллипсов внутри сечения. Пусть полуоси эллипсов будут a’ и b’, причем Кручение стержней.

Уравнения этих эллипсов могут быть записаны в параметрической форме следующем образом:


Кручение стержней


где Кручение стержнейугол, показанный на рис.4. Подставляя эти значения x и y в уравнение (28), получаем результирующие касательные напряжения в любой точке этих эллипсов:


Кручение стержней


Если a > b, то Кручение стержней будет максимально при a’= a и Кручение стержней. Таким образом, касательное напряжение имеет максимум у концов малой оси, величина Кручение стержнейв этих точках равна:


Кручение стержней (29)


При a = b эта формула переходит в выражение (21), относящееся к стержню круглого сечения. Направление напряжения Кручение стержней определяется отношением величин Кручение стержней и Кручение стержней. Из формул (27) видно, что это отношение пропорционально отношению y/x и, следовательно, постоянно вдоль линии OP. Это означает, что результирующее касательное напряжение вдоль линии OP имеет постоянное направление, совпадающее с направлением касательной P’P".


Кручение стержней

рис.5


Если найдено выражение (25) для функции депланации, то легко определить перемещение w:


Кручение стержней (30)


где Кручение стержней. Линии равной депланации w=const будут гиперболами (рис.5). Допустим, что цилиндр скручивается крутящим моментом T, действующим так, как показано на рисунке стрелкой; выпуклые части сечения, для которых w положительно, отмечены сплошными линиями, а вогнутые – пунктирными. В случае свободно депланирующих торцов цилиндра нормальные напряжения на них отсутствуют. Однако если на одном из концов стержня депланации затруднена, как в случае защемления, то будут возникать нормальные напряжения, положительные в одном квадранте и отрицательные – в другом. Они подобны напряжениям, вызываемым двумя равными и противоположно направленными изгибающими моментами и поэтому называются напряжениями изгиба, возникающими при кручении.


§2.2 Кручение тонкостенных труб


Ранее было показано, что на контуре функция Кручение стержней должна быть постоянной величиной. В случае сплошного сечения эту постоянную можно принять равной нулю. Пусть теперь профиль ограничен двумя замкнутыми кривыми, как изображено на рис.13.


Кручение стержней

рис.13


Здесь по-прежнему можно принять, что функция Кручение стержней равна нулю на внешнем контуре S1; сделать же это допущение для внутреннего контура S2 нельзя. Известно лишь, что для точек внутреннего контура величина Кручение стержней постоянна. В связи с наличием этой новой неизвестной, для решения задачи необходимо иметь дополнительное уравнение. Такое уравнение можно получить из условия, что перемещения должны быть однозначными.

Из уравнения (5) имеем:


Кручение стержней


Вычислим интеграл Кручение стержней вдоль внутреннего контура:


Кручение стержней


Так как w является однозначной функцией, и интегрирование производится по замкнутому контуру, то первый интеграл обращается в нуль. В параграфе §1.3 уже было показано, что второй интеграл равен удвоенной площади, ограниченной контуром S2. Поэтому имеем:


Кручение стержней (60)


где A2 - площадь, ограниченная контуром S2.

Вернемся теперь к мембранной аналогии. Если мембрану внутри контура S2 заменить невесомой плоской пластинкой (рис.13), то уравнение равновесия пластинки будет иметь вид:


Кручение стержней (61)


где F - натяжение мембраны, z - прогиб. Пользуясь равенством


Кручение стержней


находим из уравнения (61)


Кручение стержней или Кручение стержней


что совпадает с выражением (60). Таким образом, в случае полого сечения надо считать, что мембрана натянута по внешнему контуру и связана с невесомой плоской пластинкой по внутреннему контуру.

На рис.13 точки В, В1 и С, С1 соответствует уровням внешнего и внутреннего контуров, а линии ВС и В’С’ представляют поперечное сечение мембраны, натянутая между двумя контурами. Если стенка тонкая, то линии ВС и В’С’ приближаются к прямым отрезкам; изменение уклона мембраны будет незначительно. Это равносильно предположению о постоянстве касательных напряжений по толщине стенки. Если через h обозначить постоянное значение функции Кручение стержней на контуре S2, то из мембранной аналогии следует, что h равносильно разности уровней обоих контуров. Пусть t - переменная толщина стенки. Касательное напряжение в любой точке определяется уклоном мембраны и равно


Кручение стержней (62)


Формула для постоянной кручения J (53) должна быть теперь изменена. При выводе уравнений (10) и (11) нормаль N принималось положительной, если она была направлена наружу по отношению к поперечному сечению. Для внутреннего контура надо пользоваться тем же правилом знаков, так что положительное направление будет внутрь. Следуя этому условию, придется при интегрировании вдоль S2 изменить знак перед линейными интегралами в уравнениях (10) и (11). На контуре S1 функция Кручение стержней равна нулю, а на S2 будет Кручение стержней=h. Поэтому формула (53) принимает вид:


Кручение стержней (63)


индекс R соответствует площади А1, заключенной между контурами S1 и S2. Так как профиль является тонкостенным, величину Кручение стержней во втором интеграле можно заменить средним её значением между S1 и S2, равным h/2. Поэтому получаем


Кручение стержней


где A - площадь, ограниченная средней линией профиля. Подставляя найденное значение J в уравнение (62), находим


Кручение стержней (64)


Угол закручивания Кручение стержней можно вычислить по формуле (60):


Кручение стержней

отсюда


Кручение стержней (65)


Кручение стержней

рис.14


здесь S отсчитывается вдоль средней линии профиля. Уравнения (64) и (65) впервые были получены Бредтом и известны как формулы Бредта.

Если трубчатый профиль имеет более чем два контура (рис.14), то части мембраны, ограниченные внутренними контурами, снова могут быть заменены невесомыми плоскими пластинками. Предполагая, что толщина стенки мала, имеем:


Кручение стержней (66)


где h1 и h2 - уровни внутренних контуров СС’ и DD’.Уравнение (63) запишется в виде

Кручение стержней


где A’i - площадь, заключенная внутри контура Si, а A1 и A2- площади, ограниченные линиями S1 и S2. Отсюда


Кручение стержней (67)


Будем считать толщины Кручение стержней постоянными. Через Кручение стержней обозначим длины средних линий. Находя интеграл из уравнения (60) сначала по площади A1, а затем по A2, получаем


Кручение стержней (68)


напряжения Кручение стержней и угол Кручение стержней можно вычислить, решая совместно уравнения (67) и (68).

Из уравнений (66) можно видеть, что для той или иной ветви поперечного сечения произведение Кручение стержней является величиной постоянной. Если соединяются несколько элементов трубчатого сечения, как в точке Н, то имеем


Кручение стержней (69)


Здесь может быть использована гидродинамическая аналогия, причем величина Кручение стержней соответствует объему идеальной жидкости, циркулирующей по каналу; последний должен иметь ту же форму, что и трубчатый стержень. Тогда уравнение (69)означает, что объем втекающей жидкости должен быть равен объему вытекающей жидкости. Величина называется, поэтому потоком касательных усилий.

Кручение стержней

рис.15


Приведем численный пример определения касательных напряжений для тонкостенных профилей, в которых число контуров превышает три. На рис.15 показано поперечное сечение и нанесены его размеры. Пусть приложенный крутящий момент будет равен 115000 кг см. Вычисляем площади:


Кручение стержней


Примем, что касательные напряжения положительны по направлениям, указанным стрелками. Сопоставляя направления потоков касательных усилий, находим


Кручение стержней. (70)


С другой стороны, имеем


Кручение стержней


Подставив численные значения, получим


Кручение стержней

или


Кручение стержней (71)


По уравнению (60) будем иметь:


Кручение стержней (72)


Длины контуров равны:


Кручение стержней


Используя уравнения (70), найдем:


Кручение стержней (73)


Решая совместно уравнения (71) и (73), получим:


Кручение стержней


Знак минус перед напряжением Кручение стержней означает, что оно направлено в сторону, противоположную указанной на рисунке.


§2.3 Кручение круглых валов переменного диаметра


Кручение стержней

рис.17


Рассмотрим кручение круглого вала переменного диаметра, изображенного на рис.17, парами, приложенными по торцам. Когда мы встречаемся с телами вращения, удобно пользоваться цилиндрическими координатами Кручение стержней. Причем, что ось z совпадает с осью вала. Пренебрегая объемными силами, имеем:


Кручение стержней (74)


Обозначим перемещения в направлениях Кручение стержней соответственно через u, v, w. Выражения для компонентов деформации Кручение стержней могут быть выведены таким же образом:


Кручение стержней (75)


В параграфе §2.1 было найдено, что в случае закручивания сплошного круглого вала парами, приложенными по торцам, перемещения вдоль оси вала будут отсутствовать, и перемещение точек любого поперечного сечения происходит в направлении касательной. Попробуем решить настоящую задачу, полагая, что в данном случае


u=w=0.


Докажем, что решение, в основе которого лежит такое предположение, будет удовлетворять дифференциальным уравнениям и граничным условиям. Из теоремы об однозначности решения можно сделать вывод, что такое решение является правильным. Благодаря осевой симметрии, перемещение v не может зависеть от угла Кручение стержней и будет функцией только r и z. Пользуясь этим, из (75) находим:


Кручение стержней (76)


Из формул закона Гука легко получаем:


Кручение стержней (77)

Заметим, что единственные компоненты напряжений Кручение стержней и Кручение стержней, отличные от нуля, не зависят от угла Кручение стержней. Поэтому первые два уравнения (74) тождественно удовлетворяются, а третье уравнение принимает вид:


Кручение стержней


Его можно записать в следующей форме:


Кручение стержней (78)


Это уравнение тождественно удовлетворяется, если ввести функцию напряжений Кручение стержней по формулам:


Кручение стержней


Или


Кручение стержней (79)


Чтобы определить функцию напряжений, надо обратиться к уравнению совместимости.

Решая совместно уравнения (77) и (79), находим:


Кручение стержней


Дифференцируя первое равенство по z, а второе – по r и вычитая одно из другого, получаем следующее уравнение совместимости:


Кручение стержней (80)


Найдем теперь условие на контуре для функции Кручение стержней. Так как боковая поверхность вала свободна от внешних нагрузок, то результирующее касательное напряжение должно быть направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль N к контуру должна равняться нулю. В соответствии с этим имеем


Кручение стержней


С другой стороны,


cos(N^r)=dz/ds , cos(N^z)= - dr/ds,


где ds - элемент дуги контура. Подставляя сюда выражение (79), получаем


Кручение стержней


откуда


Кручение стержней


Или


Кручение стержней на контуре


Таким образом, задача о кручении кругового вала переменного диаметра сводится к решению уравнения (80) при условии на контуре (81).

Величину крутящего момента легко вычислить, определив момент касательных усилий Кручение стержней в поперечном сечении:


Кручение стержней (82)


Если вал имеет коническую форму, как на рис.18, то на контуре имеет место зависимость


Кручение стержней


Кручение стержней

рис.18


причем отношение, фигурирующее в левой части равенства, является величиной постоянной. Поэтому любая функция этого отношения будет удовлетворять условию на контуре (18).

Легко проверить, что функция


Кручение стержней


где C - постоянная, удовлетворяет уравнению (80). Постоянную C можно определить, подставив эту функцию в уравнение (82); тогда получим


Кручение стержней (83)


Таким образом, касательные напряжения Кручение стержней и Кручение стержней равны:


Кручение стержней (84)


где C определяется по формуле (83).

Обычно задачи, с которыми приходится сталкиваться на практике, бывают более сложными. В таких случаях применяют численные методы решения.


ГЛАВА 3. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ


§3.1 Чистое кручение стержней постоянного сечения



Информация о работе «Кручение стержней»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 46040
Количество таблиц: 3
Количество изображений: 59

Похожие работы

Скачать
20350
0
5

... будут соответственно обозначать диаметр болтов и допускаемое напряжение материала болтов на сдвиг (срез).   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ При рассмотрении деформации растяжения, сжатия, сдвига было установлено, что прочность и жесткость элементов конструкций зависит только от величины поперечного сечения и свойств материала элементов. При деформациях кручения и изгиба, при ...

Скачать
85824
1
44

... сечения увеличиваются. Из-за трения между опорными плитами нагружающего устройства и торцевыми поверхностями образца он принимает бочкообразную форму. Для ряда пластичных материалов обнаружить напряжение, аналогичное временному сопротивлению при растяжении, не удается, так как образец сплющивается. Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чем ...

Скачать
460103
24
39

... ребрами) изображают конструктивные и потоковые функциональные структуры [14]. Принципы построения функциональных структур технических объектов рассматриваются в последующих главах курса "Основы проектирования им конструирования" не включенных в настоящее пособие. Для систем управления существуют характеристики, которые можно использовать в качестве критериев для оценки структур. Одна из них - ...

Скачать
16454
1
4

... Из выражений (4) и (5) можно найти значение осевого момента сопротивления W поперечного сечения вала как  или  и далее величину диаметра вала . Местные напряжения Напряжения при растяжении (сжатии), изгибе, кручении и сложных деформациях, определяемые по рассмотренным выше зависимостям, называют расчетными или номинальными. Экспериментально установлено, что в местах приложения сил, в местах ...

0 комментариев


Наверх